Уравнения с параметром

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

1)$$a\neq 0$$ - иначе получаем 0 = 0, и, следовательно, множество корней

2)Пусть $$\log_{2} (|x|+2) = $$ y при этом будет строго больше 1, так как $$|x|+2 \geq 2 \Rightarrow \log_{2} (|x|+2)\geq 1$$ при всех х, и если y равен единице, то x = 0 и мы получаем всего один корень. Так же получаем ОДЗ с учетом корня четной степени: $$y \geq a-2$$

$$a(2y-a-3)\sqrt{y-a+2}=0\Leftrightarrow $$$$y_{1}=\frac{a+3}{2} ; y_{2} =a-2$$

Если мы имеем какой-либо корень y=m, то, из-за модуля, при обратной замене мы получим два корня по х. Следовательно, чтобы выполнялось условия существования именно двух корней по x, один корень по y не должен входить в ОДЗ. Отсюда 2 случая:

а) $$\left\{\begin{matrix}\frac{a+3}{2}\leq a-2\\ a-2> 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$ \left\{\begin{matrix}a\geq 7\\ a> 3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$ a\geq 7$$

б)$$\left\{\begin{matrix}\frac{a+3}{2}> a-2\\ \frac{a+3}{2}> 1\\ a-2< 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left\{\begin{matrix}a< 7\\a> -1 \\ a< 3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$a\in (-1;3)$$

В результате получим: $$a\in (-1;3) \cup [7;+\infty )$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Перенесем -16 влево: $$x^{2}-4x-12+16=2|x-(a-2)|\Leftrightarrow $$ $$(x-2)^{2}=2|x-(a-2)|$$ Рассмотрим графики функций: $$f(x)=(x-2)^{2}$$ и $$g(x)=2|x-(a-2)|$$. В первом случае представлена парабола с вершиной в точке (2;0), во втором случае график модуля (галочка) с вершиной в точке (a-2 ; 0). Данные фукциии имеют в зависимости от параметра а от двух до четырех пересечений. Нам необходимо три. Рассмотрим все возможные случаи:

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$\left\{\begin{matrix}2\sin^{2}x-4a\sin x-\sin x+2a+1>0\\\frac{1,2x}{\pi}>0\\x\in[-\frac{\pi}{2};\frac{5\pi}{2}]\\2\sin^{2}x-4a\sin x-\sin x+2a+1=1\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}2\sin^{2}x-4a\sin x-\sin x+2a+1=0(1)\\x\in(0;\frac{5\pi}{2})\cup{\frac{5\pi}{6}}\end{matrix}\right.$$

1) $$2\sin^{2}x-\sin x(4a+1)+2a=0$$

$$D=16a^{2}+8a+1-16a=(4a-1)^{2}$$; $$\sin x=\frac{4a+1\pm|4a-1|}{2}=2a;\frac{1}{2}$$; $$\sin x=\frac{1}{2}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x=(-1)^{n}\frac{\pi}{6}+\pi n,n\in Z$$; $$\sin x=2a$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x=(-1)^{n}\arcsin2a+\pi n,n\in Z$$

$$\sin x=\frac{1}{2}$$ дает с учетоа ОДЗ 2 корня: $$(\frac{\pi}{6};\frac{13\pi}{6})$$, значит $$\sin x=2a$$ не более одного отличного решения $$\Rightarrow$$ $$2a\in(-\infty;-1]\cup{\frac{1}{2}}\cup(1;+\infty)$$ $$\Rightarrow$$ $$a\in(-\infty;-\frac{1}{2}]\cup{\frac{1}{4}}\cup(\frac{1}{2};+\infty)$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     Используем «неравенство треугольника» :$$\left | x+y \right |\leq \left | x \right |+\left | y \right |$$, где равенство достигается , если x  и y или оба неотрицательны , или оба неположительны.

     Поскольку $$a^{2}-a*1>0$$, будем иметь: $$a^{2}-a*1=\left | a^{2}-a+1 \right |=$$$$\left | (a^{2}+3-x)+(x-a-2) \right |\leq$$ $$\left | a^{2}+3-x \right |+\left | x-a-2 \right |\leq$$ $$\left | a^{2}+3-x \right |+\left | x-a-2 \right |+\left | x-3a-1 \right |=$$$$a^{2}-a+1(1)$$

     Следовательно , в цепочке (1) все неравенства обращаются в равенства. Это возможно лишь в том случае , когда $$a^{2}+3-x$$ и $$x-a-2$$ неотрицательны ( так как их сумма положительна) , а $$x-3a-1=0$$. Получим систему условий: $$\left\{\begin{matrix}x-3a-1=0\\a^{2}+3-x\geq 0\\x-a-2\geq 0\end{matrix}\right.(2)$$

     Подставим значение  $$x=3a+1$$ из первого неравенства системы (2) во второе и третье:

$$\left\{\begin{matrix}a^{2}-3a+2\geq 0\\2a-1\geq 0\end{matrix}\right.\Rightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x \in (-\infty; 1]\cup [2;+\infty )\\a\geq 0,5\end{matrix}\right.\Rightarrow$$ $$a\in [0,5; 1]\cup [2;+\infty )$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$(x^{2}-5+\ln(x+a))^{2}=(x^{2}-5)^{2}+\ln^{2}(x+a)$$

ОДЗ: $$x+a>0 \Leftrightarrow x>-a$$

$$(x^{2}-5)^{2}+2(x^{2}-5)\ln^{2}(x+a)=(x^{2}-5)^{2}+\ln^{2}(x-a)$$

$$(x^{2}-5)\ln(x-a)=0$$

$$\left\{\begin{matrix}x^{2}-5=0 \\\ln(x+a)=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x_{1}=\pm \sqrt{5} \\x_{2}=1-a \end{matrix}\right.$$

$$\sqrt{5}\in [0; 3]$$, тогда есть три возможных варианта ($$x_{2}\in$$ ОДЗ при всех a)

1) $$x_{1}\notin$$ ОДЗ и $$x_{2}\in [0 ;3]$$

$$\left\{\begin{matrix}\sqrt{5}\leq -a \\0\leq1-a\leq 3 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}a\leq -\sqrt{5} \\-2\leq \leq 2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\varnothing$$

2) $$x_{1}\in$$ ОДЗ и $$x_{2}\notin [0 ;3]$$

$$\left\{\begin{matrix}\sqrt{5}>- a \\\left\{\begin{matrix}1-a>3 \\1-a<0 \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$

$$\left\{\begin{matrix}a>-\sqrt{5} \\\left\{\begin{matrix}a<-2 \\a>1 \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$a\in (-\sqrt{5};-2)\cup (1; +\infty )$$

3) $$x_{1}=x_{2}$$

$$1-a=\sqrt{5}\Leftrightarrow 1-\sqrt{5}$$

Объединим полученные результаты: $$a\in (-\sqrt{5};-2)\cup (1-\sqrt{5})\cup (1; +\infty)$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

В исходном уравнении $$4^{1-x^{2}}-3a^{2}*2^{1-x^{2}}+3a^{2}-a^{2}=0$$ выполним замену переменной $$t=2^{1-x^{2}}$$. Получим уравнение  $$t^{2}-3a^{2}t+3a^{3}-a^{2}=0$$. В этом уравнении $$t>0$$

Поскольку $$1-x^{2}\leq 1$$ имеем : $$2^{1-x^{2}}\leq 2\Leftrightarrow t\leq 2$$. Если $$x_{0}\neq 0$$ является корнем исходного уравнения, то и $$-x_{0}$$-также является его корнем. Следовательно, преобразовательное уравнение должно иметь ровно один корень в промежутке (0;2]. Более того, если 2- корень преобразованного уравнения , то исходное уравнение имеет нечётное количество корней , т.к. равенство $$2^{1-x^{2}}=2$$ выполняется только при $$x=0$$

1)Преобразованное уравнение имеет единственный корень при $$D=0$$, т.е. $$D=9a^{4}-12a^{3}+4a^{2}=a^{2}(3a-2)^{2}=0$$

При $$a=0$$ получаем $$t=0\notin (0;2)$$ . При $$a=\frac{2}{3}$$ получаем $$(t-\frac{2}{3})^{2}=0\Leftrightarrow t=\frac{2}{3}$$-решение задачи

$$a =\frac{2}{3}$$

2) Обозначим $$f(t)=t^{2}-3a^{2}+3a^{3}-a^{2}$$ и рассмотрим теперь промежуток (0;2) для значений корня преобразованного уравнения. Обозначим $$f(t)=t^{2}-3a^{2}t+3a^{3}-a^{2}$$

Для того, чтобы единственный корень этого уравнения попадал в указанный промедуток , досаточно, чтобы a\neq 0

$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}f(0)>0\\f(2)<0\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}f(0)<0\\f(2)>0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}(a-1)(a-2)(a+\frac{2}{3})<0\\a^{2}(a-\frac{1}{3})>0\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}(a-1)(a-2)(a+\frac{2}{3})>0\\a^{2}(a-\frac{1}{3})<0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$

Остается рассмотреть случай $$a=\frac{1}{3}$$. В этом случае преобразованное уравнение принимает

 Вид $$t(t-\frac{1}{3})=0$$, откуда $$t=\frac{1}{3}$$-единственный корень в промежутке (0;2) , т.е.

$$a=\frac{1}{3}$$-решение задачи

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Рассмотрим каждую скобку по отдельности. Так как произведение равно нулю, когда один из множителей равно нулю, то итоговым решением будет совокупность решений каждой скобки:

Пусть : $$|2x+1-a|+|2x+1+a|-2a=0 (A)$$ или $$|x^{2}-2x+a|+|x^{2}-2x-a|-2a=0 (B)$$

A) Раскроем модули. Модули равны 0, если $$2x+1=\pm a$$. Отметим данные значения на координатной прямой, рассмотрим, какие знаки принимают подмодульные выражения:

Итоговой областью решения будет множество точек объединения получившихся промежутков (фиолетовая область):

Наим необходимо, чтобы было ровно 4 целых значения х. Построим прямую $$a=0,5$$ Как видим, целых абсцисс, попавших в пересечение прямой и области решения всего 2 ( 0 и 2). Построим прямую $$a=1$$. Как видим, целых абсцисс получаем 4 (-1 ; 0 ; 1 ; 2). Построим прямую $$a=3$$, там уже будет 6 целых абсцисс (-2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3). Следовательно, решением будет $$a \in [1 ; 3)$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Преобразуем данное уравнение относительно переменной а (х будет параметром): $$x^{4}-2x^{3}-(2a+3)x^{2}+2ax+3a+a^{2}=0\Leftrightarrow$$$$x^{4}-2x^{3}-2ax^{2}+3x^{2}+2ax+3a+a^{2}=0\Leftrightarrow$$$$a^{2}+a(3+2x-2x^{2})+x^{4}-2x^{3}-3x^{2}$$

Найдем корни данного уравнения:

$$D=(3+2x-2x^{2})^{2}-4(x^{4}-2x^{3}-3x^{2})=4x^{2}+12x+9=(2x+3)^{2}$$

$$a_{1}=\frac{2x^{2}-2x-3+|2x+3|}{2}$$

$$a_{2}=\frac{2x^{2}-2x-3-|2x+3|}{2}$$

Рассмотрим график функции $$a_{1}(x)$$, раскроем модуль:

$$\left\{\begin{matrix}x\geq -1,5\Rightarrow a=x^{2}\\x< -1,5\Rightarrow a=x^{2}-2x-3\end{matrix}\right.$$

Рассмотрим график функции $$a_{2}(x)$$, раскроем модуль:

$$\left\{\begin{matrix}x\geq -1,5\Rightarrow a=x^{2}-2x-3\\x< -1,5\Rightarrow a=x^{2}\end{matrix}\right.$$

Построим графики функций $$a_{1}(x);a_{1}(x)$$:

Как видим, значения $$a$$ начинаются с -4 (вершина параболы $$a_{2}(x)$$). С учетом свойств квадратичной функции, получаем, что $$a \geq -4$$. При этом значение х, пределяемое единственным значением а равно -1,5 (абсцисса точки пересечение графиков обеих квадратичных фукнций)

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$a ^{2}+8\left | x-5 \right |+2\sqrt{x^{2}-10x+29}=2a +\left | x-2a -5 \right |$$

Пусть x-5=y

$$a ^{2}+8\left | y \right |+2\sqrt{y^{2}+4}=2a +\left | y-2a \right |$$

$$2\sqrt{y^{2}+4}= 2a -a ^{2}-8\left | y \right |+\left | y-2a \right |$$

Рассмотрим обе части уравнения как отдельные функции g(y) и f(y):

$$g(y)=2\sqrt{y^{2}+4}$$ - график данной функции - ветви параболы

При этом минимальное значение будет: $$g_{min}=g(0)=2\sqrt{0+4}=4$$

Рассмотрим функцию f(y): так как там есть модуль и параметр, то будет несколько вариантов раскрытия:

$$f(g)=2a -a ^{2}-8\left | y \right |+\left | y-2a \right |$$ - кусочно-линейная функция

а)Пусть $$2a \geq 0$$, тогда

1)$$y\leq 0$$ $$f(y)=2a -a ^{2}+8y-y+2a =7y+4a -a ^{2}$$ - синий цвет

2)$$y\in (0 ; 2a )$$ $$f(y)=2a -a ^{2}-8y-y+2a =-9y+4a -a ^{2}$$ - зеленый цвет

3) $$y> 2a$$ $$f(y)=2a -a ^{2}-8y+y-2a =-7y-a ^{2}$$ - красный цвет

Схематичное изображение графика:

Как видим максимальное значение в координате $$y=0$$: $$f_{max}=f(0)=2a =a ^{2}+\left | -2a \right |$$

б)Пусть $$2a < 0$$

1)$$y\leq 2a$$ $$f(y)=2a -a ^{2}+8y-y+2a =7y+4a -a ^{2}$$

2)$$y\in (2a; 0)$$ $$f(y)=2a -a ^{2}+8y+y-2a =9y-a ^{2}$$

3)$$y\geq 2a$$ $$f(y)=2a -a ^{2}-8y+y-2a =-7y-a ^{2}$$

Схематичное изображение графика:

И тут максимальное значение в координате $$y=0$$: $$f_{max}=f(0)$$. То есть, независимо от значения $$a$$ максимальное значение при $$y=0$$.

Тогда , чтобы были решения $$g_{min}\leq f_{max}$$ (графическая интерпритация):

Тогда:

$$4\leq 2a -a ^{2}+\left | -2a \right |\Leftrightarrow$$$$a ^{2}-2a -\left |- 2a \right | +4\leq 0$$

Расскроем модуль:

1)$$-2a \geq 0\Rightarrow a \leq 0$$. Тогда $$a ^{2}-2a +2a +4\leq 0\Rightarrow a ^{2}+4\leq 0\Rightarrow$$ решений нет

2) $$-2a < 0\Rightarrow a > 0$$. Тогда $$a ^{2}-2a -2a +4\leq 0\Rightarrow (a -2)^{2}\leq 0\Rightarrow a =2$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$D(f):\left\{\begin{matrix} x>0 \\ 25x\neq 1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix} x>0 \\ x\neq \frac{1}{25} \end{matrix}\right.$$

1) Пусть $$a=\pm 1$$,тогда $$\log_{5}x=2\Leftrightarrow x=25$$ - один корень, что не устраивает условие задания

2) Пусть $$a\neq \pm 1$$, тогда: $$\log_{5}x+\frac{4(1-a^{2})}{\log_{5}25x}-2=0\Leftrightarrow$$$$\log_{5}x+\frac{4(1-a^{2})}{\log_{5}x+2}-2=0\Leftrightarrow$$$$\log_{5}^{2}x+2\log_{5}x-2\log_{5}x-4+4-4a^{2}=0\Leftrightarrow$$$$\log_{5}^{2}x=4a^{2}\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix} \log_{5}x=2a\\ \log_{5}x=-2a\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix} x_{1}=5^{2a}\\ x_{2}=5^{-2a}\end{matrix}\right.$$

Так как по условию задания $$\left | x_{1}-x_{2} \right |>\frac{24}{5}$$ тогда: $$\left | 5^{2a}-5^{-2a} \right |\Leftrightarrow$$. Пусть $$5^{2a}=y>0$$, тогда:

$$\left | y-\frac{1}{y} \right |>\frac{24}{5}\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix} y-\frac{1}{y}>\frac{24}{5}\\ y-\frac{1}{y}<\frac{-24}{5}\end{matrix}\right.$$$$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} \frac{5y^{2}-24y-5}{y}>0 \\ \frac{5y^{2}+24y-5}{y}<0 \end{matrix}\right.$$

т.к. y>0, то $$\left[\begin{matrix} 5y^{2}-24y-5>0 \\ 5y^{2}+24y-5<0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix} (y-5)(y+\frac{1}{5})>0 \\ (y+5)(y-\frac{1}{5})<0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix} y-5>0 \\ y-\frac{1}{5}<0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix} y>5 \\ y<\frac{1}{5} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix} 5^{2a}>5 \\ 5^{2a}<\frac{1}{5} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix} a>\frac{1}{2} \\ a<-\frac{1}{2} \end{matrix}\right.$$

С учётом , что $$a\neq \pm 1$$, получаем: $$a\in (-\infty ;-1)\cup (-1; -\frac{1}{2})\cup (\frac{1}{2}; 1)\cup (1 ;+\infty )$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     Так как слева сумма модулей, то справа должно быть число неотрицательное :$$1-a^{3}\geq 0\Leftrightarrow$$ $$a^{3}\leq 1\Leftrightarrow$$ $$a\leq 1$$

     Преобразуем уравнение :$$\left | x+1 \right |=-a^{2}\left | a+\frac{x}{a^{2}} \right |+(1-a^{3})$$

$$\left | a \right |^{2}=a^{2} \left | f \right |*\left | g \right |=\left | fg \right |$$

$$\left | x+1 \right |=-\left | a^{3}+x \right |+(1-a^{3})$$

$$f=\left | x+1 \right |$$ - график модуля смещённый на 1 по Ox влево.

$$f=-\left | a^{3}+x \right |+(1-a^{3})$$ - график $$\left | x \right |$$ смещённый на $$a^{3}$$ по Ox влево или право и $$1-a^{3}$$ по Oy вверх или низ и перевернуты (с учетом $$a\leq 1$$, то по Oy вверх и $$a^{3}$$ вправо от $$x=-1$$)

     Начертим график функции:

Есть 2 случая удовлетворения условию задачи :

(1): $$\left\{\begin{matrix}-a^{3}\leq -4\\1-a^{3}\geq 3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}a^{3}\geq 4\\a^{3}\leq -2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\varnothing$$

(2):$$\left\{\begin{matrix}-a^{3}\geq 2\\1-a^{3}\geq 3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}a^{3}\leq -2\\a^{3}\leq -2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$a\leq \sqrt[3]{-2}]$$