ЕГЭ Профиль
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 1237
Площадь поверхности шара равна $$24\sqrt[3]{\frac{\pi }{6}}$$. Найдите объем шара.
Площадь поверхности сферы вычисляется по формуле: $$S=4\pi R^{2}$$ Объем шара вычисляется по формуле: $$V=\frac{4}{3}\pi R^{3}$$ Найдем сначала радиус сферы, зная площадь ее поверхности: $$4\pi R^{2} =24\sqrt[3]{\frac{\pi }{6}} $$ $$R^{2} =6\frac{\sqrt[3]{\frac{\pi }{6}}}{\pi} $$ $$R=\sqrt[3]{\frac{6}{\pi}} $$ Тогда объем шара будет равен: $$V=\frac{4}{3}\pi (\sqrt[3]{\frac{6}{\pi}})^{3}=8$$
Задание 1291
Цилиндр описан около шара. Найдите объем шара, если известно, что объем цилиндра равен 60.
Задание 4012
Радиусы трех шаров равны 3, 4 и 5. Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов.
$$V=V_{1}+V_{2}+V_{3}$$
$$\frac{4}{3}\pi R^{3}=\frac{4}{3}\pi R_{1}^{3}+\frac{4}{3}\pi R_{2}^{3}+\frac{4}{3}\pi R_{3}^{3}$$
$$R^{3}=R_{1}^{3}+R_{3}^{3}+R_{3}^{3}$$
$$R^{3}=3^{3}+4^{3}+5^{3}=216$$
$$R=6$$
Задание 4663
Площадь сечения шара плоскостью, проходящей через его центр, равна 16. Найдите площадь сечения этого шара плоскостью, отстоящей от его центра на расстояние, равное половине радиуса.
Построим чертеж:
Пусть O - центр большего сечения, А - центр меньшего, АС - его радиус, тогда ОС - радиус сферы. Пусть OC = R, тогда AO = 0,5R
Из треугольника AOC по т. Пифагора: $$AC=\sqrt{R^{2}-(0,5R)^{2}}=\frac{\sqrt{3}*R}{2}$$
Тогда площади сечений относятся как квадрта их коэффеициента подобия, или как отношение их радиусов, возведенное в квадрат:
$$(\frac{AC}{OC})^{2}=(\frac{\frac{\sqrt{3}*R}{2}}{R})^{2}=\frac{3}{4}$$
Тогда площадь меньшего составляет 3/4 площади большего, то есть 12
Задание 5051
Во сколько раз площадь поверхности шара, описанного около куба, больше площади поверхности шара, вписанного в этот же куб?
$$R=\frac{1}{2}d$$; $$r=\frac{1}{2}a$$; $$R=\frac{1}{2}\sqrt{3}a=\frac{\sqrt{3}a}{2}$$; $$r=\frac{a}{2}$$; $$\frac{S_{1}}{S_{2}}=(\frac{R}{r})^{2}=(\sqrt{3})^{2}=3$$
