Перейти к основному содержанию

ЕГЭ Профиль

(C1) Уравнения

Логарифмические и показательные уравнения

Задание 1145

а) Ре­ши­те урав­не­ние  $$1+\log_{2} (9x^{2}+5)=log_{\sqrt{2}} \sqrt{8x^{4}+14}$$

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку $$ \left [ -1;\frac{8}{9} \right ]$$

Ответ: a) $$\sqrt{2}$$ ; $$-\sqrt{2} $$; $$\frac{1}{2}$$ ; $$-\frac{1}{2}$$ ; б) $$\frac{1}{2}$$ ; $$-\frac{1}{2} $$

Задание 1147

а) Ре­ши­те урав­не­ние  $$\log_{5} (2-x) = \log_{25} x^{4}$$

б) Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку  $$\left [ \log_{9} \frac{1}{82};\log_{9} 8 \right ]$$

 

Ответ: a) -2 ; 1 б)-2

Задание 1148

а) Ре­ши­те урав­не­ние $$6\log_{8}^{2} x - 5\log_{8} x +1 = 0 $$

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку  [2 ; 2,5]

 

Ответ: а)2 и $$2\sqrt{2} $$ ; б)2

Задание 1149

а) Ре­ши­те урав­не­ние  $$9^{x-\frac{1}{2}}-8*3^{x-1}+5=0 $$

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку  $$ \left ( 1;\frac{7}{3} \right )$$

Ответ: а)  1 ; $$\log_{3} 5$$  б)  $$\log_{3} 5$$

Ответ:

Задание 1150

а) Ре­ши­те урав­не­ние  $$4^{x^{2}-2x+1}+4^{x^{2}-2x}=20$$

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку $$\left [ -1;2 \right ]$$

Ответ: a)$$1\pm \sqrt{2}$$; б)$$1- \sqrt{2}$$

Задание 1151

а) Ре­ши­те урав­не­ние $$ 7*9^{x^{2}-3x+1}+5*6^{x^{2}-3x+1}-48-48*4^{x^{2}-3x}=0$$

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку [−1; 2].

 

Ответ: a)$$\frac{3\pm \sqrt{5}}{2} $$; б) $$\frac{3- \sqrt{5}}{2}$$

Задание 1152

а) Ре­ши­те урав­не­ние  $$ 27^{x}-5*9^{x}-3^{x+2}+45=0 $$

б) Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку  $$\left [ \log_{3} 4 ; \log_{3} 10 \right ]$$

Ответ: a) 1 ; $$ \log_{3} 5$$ ; б)$$ \log_{3} 5$$

Задание 1153

а) Ре­ши­те урав­не­ние  $$3*9^{x-\frac{1}{2}}-7*6^{x}+3*4^{x+1}=0$$

б) Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­ще­го от­рез­ку  [2 ; 3]

Ответ: a) $$ \log_{\frac{3}{2}} 3 ; \log_{\frac{3}{2}} 4 $$ ; б) $$\log_{\frac{3}{2}} 3$$
 

Задание 2991

а) Решите уравнение $$18^{x}-9^{x+1}-2^{x+2}+36=0$$;

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [2; 4]

Ответ: а) $$\log_{2}9$$; $$\log_{9}4$$; б) $$\log_{2}9$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

$$18^{x}-9^{x+1}-2^{x+2}+36=0$$ $$18^{x}-9\cdot9^{x}-4\cdot2^{x}+36=0$$ $$9^{x}\cdot(2^{x}-9)-4\cdot(2^{x}-9)=0$$ $$(2^{x}-9)\cdot(9^{x}-4)=0$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\log_{2}9\in [2;4]\\x=\log_{9}4\notin [2;4]\end{matrix}\right.$$

 

Задание 3661

Дано уравнение $$8^{x}+3=3\cdot4^{x}+2^{x}$$.

а) Решите уравнение.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{1}{2};\frac{3}{2}]$$
Ответ: a) $${0;\log_{2}3}$$; б) 0
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

a) $$8^{x}+3=3\cdot4^{x}+2^{x}$$

$$2^{3x}-3\cdot2^{2x}-2^{x}+3=0$$

Пусть $$2^{x}=y>0$$

$$y^{3}-3y^{2}-y+3=0$$

$$y(y^{2}-1)-3(y^{2}-1)=0$$

$$(y^{2}-1)(y-3)=0$$

$$\left\{\begin{matrix}y^{2}=1\\y=3\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$

$$\left\{\begin{matrix}y=1\\y=-1\\y=3\end{matrix}\right.$$

1) $$2^{x}=1$$

$$x=0$$

2) $$2^{x}=-1$$ - нет решений

3) $$2^{x}=3$$

$$x=\log_{2}3$$

б) Сравним: $$\log_{2}3$$ и $$\frac{3}{2}$$

$$\frac{3}{2}=\log_{2}2^{\frac{3}{2}}=\log_{2}\sqrt{8}$$

$$\log_{2}3=\log_{2}\sqrt{9}$$

$$\log_{2}\sqrt{9}>\log_{2}\sqrt{8}$$ $$\Rightarrow$$

$$\log_{2}3\notin[-\frac{1}{2};\frac{3}{2}]$$

Задание 3998

а) Решите уравнение: $$\log_{2}^{2} (x^{2})-16 \log_{2}(2x)+31=0$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3;6]

Ответ:
 

Задание 4960

А) Решите уравнение $$(\log_{3}\frac{3}{x})\cdot\log_{2}x-\log_{3}\frac{x^{3}}{\sqrt{3}}=\frac{1}{2}+\log_{2}\sqrt{x}$$
 
Б) Найдите корни, принадлежащие отрезку $$[0;\frac{1}{5}]$$

Ответ: а)$$1;\frac{\sqrt{3}}{8}$$ б)нет
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть
а)$$(\log_{3}3-\log_{3}x)\cdot\log_{2}x-\log_{3}x^{3}+\log_{3}\sqrt{3}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\log_{2}x\Leftrightarrow$$
$$\log_{2}x-\log_{3}x\cdot\log_{2}x-3\log_{3}x+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\log_{2}x=0\Leftrightarrow$$
$$\frac{1}{2}\log_{2}x-\log_{3}x\cdot\log_{2}x-3\log_{3}x=0\Leftrightarrow$$
$$\log_{3}\frac{3}{x}\cdot\log_{2}x-\log_{3}\frac{x^{3}}{\sqrt{3}}=\frac{1}{2}+\log_{2}\sqrt{x}\Leftrightarrow$$
$$\log_{2}x-2\log_{3}x\cdot\log_{2}x-6\log_{3}x=0\Leftrightarrow$$
Поделим обе части на $$\log_{3}x$$. При этом если мы делим на переменную, надо проверить, является ли корнем уравнения данная переменная, приравненная к нулю ($$\log_{3}x=0 ; x=1$$) - подставьте в первоначальное уравнение и проверьте, $$x=1$$ будет являться корнем.
$$\frac{\log_{2}x}{\log_{3}x}-2\log_{2}x-6=0\Leftrightarrow$$
$$\frac{\log_{x}3}{\log_{x}2}-2\log_{2}x-6=0\Leftrightarrow$$
$$\log_{2}3-6-2\log_{2}x=0\Leftrightarrow$$
$$\log_{2}\sqrt{3}-3=\log_{2}x\Leftrightarrow$$
$$\log_{2}\frac{\sqrt{3}}{8}=\log_{2}x\Leftrightarrow$$
$$x=\frac{\sqrt{3}}{8}$$
б) Ни один из корней не попадает в представленный промежуток

Задание 6182

а) Решите уравнение $$5*25^{x-\frac{1}{2}}-19*10^{x}+6*4^{x+\frac{3}{2}}=0$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3;4] 
Ответ: а)$$\log_{2,5} 3 ;\log_{2,5}16$$ б)$$\log_{2,5}16$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

а)$$5*25 ^{x-\frac{1}{2}}-19*10^{x}+6*4^{x+\frac{3}{2}}=0$$

$$5*25^{-\frac{1}{2}}*5^{2x}-19 *2^{x}*5^{x}+6*4\frac{3}{2}*2^{2x}=0|:2^{2x}$$

$$(\frac{5}{2})^{2x}-19(\frac{5}{2})^{x}+48=0$$

Введем замену:

$$(\frac{5}{2})^{x}=y>0$$

$$y^{2}-19y+48=0$$

$$D=361-192=169$$

$$\left\{\begin{matrix}y_{1}=\frac{19+13}{2}=16\\y_{2}=\frac{19+13}{2}=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}(\frac{5}{2})^{x} =16\\(\frac{5}{2})^{x}=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\log_{2,5} 16\\x=\log_{2,5}3\end{matrix}\right.$$

б) Представим [3;4] в виде логарифмов с основанием 2,5: $$[3;4] \Leftrightarrow [\log_{2,5} 2,5^{3};\log_{2,5} 2,5^{4}] \Leftrightarrow [\log_{2,5} 15,625;\log_{2,5} 39,0625]$$. Как видим, попадает только $$\log_{2,5} 16$$, так как у $$\log_{2,5}3$$ логарифмируемое выражение меньше нижний границы: $$3<15,625$$

Задание 7421

а) Решите уравнение $$\log_{5} (2-x)=\log_{25} x^{4}$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[\log_{8} \frac{1}{81}; \log_{9} 8]$$
Ответ: а)-2;1 б)-2
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

Задание 8342

а) Решите уравнение $$4^{x^{2}-1}-24\cdot 2^{x^{2}-3}+8=0$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{5}{3};2]$$

Ответ: $$-\sqrt{2};\sqrt{2};\sqrt{3}$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

А) $$4^{x^{2}-1}-24\cdot2^{x^{2}-3}+8=0$$

$$\frac{4^{x^{2}}}{4}-\frac{24\cdot2^{x^{2}}}{2^{3}}+8=0$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{4^{x^{2}}}{4}-3\cdot2^{x^{2}}+8=0$$

$$4^{x^{2}}-12\cdot2^{x^{2}}+32=0$$

Замена: $$2^{x^{2}}=y$$

$$y^{2}-12y+32=0$$

$$\left\{\begin{matrix}y_{1}+y_{2}=12&\\y_{1}\cdot y_{2}=32&\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}y_{1}=8&\\y_{2}=4&\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}2^{x^{2}}=2^{3}&\\2^{x^{2}}=2^{2}&\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\pm\sqrt{3}&\\x=\pm\sqrt{2}&\end{matrix}\right.$$

Б) На отрезке $$[-\frac{5}{3};2]$$: $$-\sqrt{2};\sqrt{2};\sqrt{3}$$