ОГЭ 2021. Вариант 2. Ященко 36 вариантов ФИПИ школе.
Решаем 2 вариант ОГЭ Ященко 2021 года сборника ФИПИ школе 36 вариантов. Полный разбор всего 2 варианта (всех заданий).
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задания 1-5
Две подруги Оля и Аня задумались о том, как рассчитать площадь поверхности зонта.
На первый взгляд зонт кажется круглым, а его купол напоминает часть сферы (сферический сегмент). Но если присмотреться, то видно, что купол зонта состоит из двенадцати отдельных клиньев, натянутых на каркас из двенадцати спиц (рис. 1). Сферическая форма в раскрытом состоянии достигается за счёт гибкости спиц и эластичности ткани, из которой изготовлен зонт.
Оля и Аня сумели измерить расстояние между концами соседних спиц а. Оно оказалось равно 28 см. Высота купола зонта h (рис. 2) оказалась равна 27 см, а расстояние d между концами спин,, образующих дугу окружности, проходящей через вершину зонта, — ровно 108 см.
1) Длина зонта в сложенном виде равна 27 см и складывается из длины ручки (рис. 3) и трети длины спицы (зонт в три сложения). Найдите длину спицы, если длина ручки зонта равна 6,8 см.
2) Поскольку зонт сшит из треугольников, рассуждала Оля, площадь его поверхности можно найти как сумму площадей треугольников. Вычислите площадь поверхности зонта методом Оли, если высота каждого равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, равна 59 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах с округлением до десятков.
3) Аня предположила, что купол зонта имеет форму сферического сегмента. Вычислите радиус R сферы купола, зная, что $$ОС = R$$ (рис. 2). Ответ дайте в сантиметрах.
4) Аня нашла площадь купола зонта как площадь поверхности сферического сегмента по формуле $$S = 2\pi Rh$$, где R — радиус сферы, a h — высота сегмента. Рассчитайте площадь поверхности купола способом Ани. Число $$\pi$$ округлите до 3,14. Ответ дайте в квадратных сантиметрах с округлением до целого.
5) Рулон ткани имеет длину 20 м и ширину 90 см. На фабрике из этого рулона были вырезаны треугольные клинья для 15 зонтов, таких же, как зонт, который был у Оли и Ани. Каждый треугольник с учётом припуска на швы имеет площадь 850 кв. см. Оставшаяся ткань пошла в обрезки. Сколько процентов ткани рулона пошло в обрезки?
1) Длина $$\frac{1}{3}$$ спицы: $$27-6,8=20,2$$ см. Тогда длина всей спицы: $$3\cdot 20,2=60,6$$ см.
2) Площадь одного треугольника: $$S_1=\frac{1}{2}\cdot 28\cdot 59=826$$. Тогда площадь поверхности зонта: $$S_2=12\cdot 826=9912\approx 9910$$ см$$^2$$.
3) Пусть $$OM=x$$; из $$\triangle OLN: OM$$ - высота и медиана $$\to MN=\frac{d}{2}=54$$ см. Из $$\triangle OMN: OM^2+MN^2=ON^2\to x^2+54^2=(x+27)^2\leftrightarrow 54^2=54x+27^2\leftrightarrow$$ $$\leftrightarrow 54x=2916-729\to x=40,5\to R=40,5+27=67,5$$ см.
4) $$S=2\cdot 3,14\cdot 67,5\cdot 27=11445,3\approx 11445$$ см$$^2$$.
5) Количество клиньев: $$15\cdot 12=180$$ шт. Площадь клиньев: $$\frac{180\cdot 850}{100\cdot 100}=15,3$$ м$$^2$$. Площадь рулона: $$20\cdot 0,9=18$$ м$$^2$$. Обрезков: $$18-15,3=2,7$$ м$$^2$$. В процентах $$\frac{2,7}{18}\cdot 100=15%$$
Задание 6
$$(\frac{1}{12}-1\frac{2}{15})\cdot 6\frac{2}{3}=(\frac{1}{12}-\frac{17}{15})\cdot \frac{20}{3}=\frac{5-68}{5\cdot 4\cdot 3}\cdot \frac{20}{3}=-\frac{63}{9}=-7$$
Задание 7
Одно из чисел $$\sqrt{29}, \sqrt{34}, \sqrt{39}, \sqrt{45}$$ отмечено на прямой точкой А.
Какое это число?
$$1)\sqrt{29}; 2)\sqrt{34}; 3)\sqrt{39}; 4)\sqrt{45}$$
Задание 8
Задание 9
$$(x+2)^2=(1-x)^2$$ из этого получаем 2 уравнения:
1) $$x+2=1-x\to 2x=-1\to x=-0,5$$
2) $$x+2=x-1\to$$ корней нет
Задание 10
В магазине канцтоваров продаётся 120 ручек: 32 красных, 32 зелёных, 46 фиолетовых, остальные синие и чёрные, их поровну. Найдите вероятность того, что случайно выбранная в этом магазине ручка будет красной или фиолетовой.
Задание 11
Установите соответствие между формулами, которыми заданы функции, и графиками этих функций. которыми заданы функции.
ФОРМУЛЫ
а)$$y=x^2+8x+12$$ б)$$y=x^2-8x+12$$ в)$$y=-x^2+8x-12$$
ГРАФИКИ
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
У 3-го ветви направлены вниз, значит $$a<0 (y=ax^2+bx+c)\to B.$$
Найдем абсциссу вершины для A: $$x_0=-\frac{8}{2}=-4\to$$ 1 график. Тогда 123.
Задание 12
Задание 13
Укажите решение неравенства $$(x+4)(x-8)>0$$
Задание 14
В течение 20 банковских дней акции компании дорожали ежедневно на одну и ту же сумму. Сколько стоила акция компании в последний день этого периода, если в 9-й день акция стоила 555 рублей, а в 13-й день — 631 рубль?
Задание 15
Сторона треугольника равна 16, а высота, проведённая к этой стороне, равна 27. Найдите площадь этого треугольника.
Задание 16
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол АВС - равен 92°, угол CAD равен 60°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
Задание 17
Диагональ прямоугольника образует угол $$63^{\circ}$$ с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.
Задание 18
На клетчатой бумаге с размером клетки 1 х 1 изображена трапеция. Найдите её площадь.
Задание 19
Какие из следующих утверждений верны?
- Касательная к окружности параллельна радиусу, проведённому в точку касания.
- Если в ромбе один из углов равен 90 градусам, то этот ромб является квадратом.
- Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Задание 20
Решите уравнение $$x^6=-(7x+10)^3$$
$$x^6=-(7x+10)^3\leftrightarrow x^2=-(7x-10)\leftrightarrow x^2+7x+10=0.$$ Из этого получаем два уравнения:
1) $$x_1+x_2=-7\to x_1=-2$$
2) $$x_1\cdot x_2=10\to x_2=-5$$
Задание 21
Пусть x км/ч - скорость второго, тогда $$x+2$$ км/ч - скорость первого. Получим: $$\frac{224}{x}-\frac{222}{x+2}=2\leftrightarrow 112(x+2)-112x=1(x^2+2x)\leftrightarrow$$ $$\leftrightarrow 112x+224-112x=x^2+2x\leftrightarrow x^2+2x-224=0$$
Решаем по теореме Виета:
1) $$x_1+x_2=-2\to x_1=-16<0$$
2) $$x_1x_2=-224\to x_2=14$$ - ответ.
Задание 22
Постройте график функции $$y=x^2-3|x|-x$$ и определите, при каких значениях m прямая $$y=m$$ имеет с графиком не менее одной, но не более трёх общих точек.
$$y=x^2-3|x|-x$$ получаем уравнения:
1) $$y=x^2-3x-x, x\geq 0 \to y=x^2-4x, x\geq 0 (1)$$
2) $$y=x^2+3x-x, x<0 \to y=x^2+2x, x<0 (2)$$
(1) $$x_0=-\frac{-4}{2}=2; y_0=2^2-4\cdot 2=-4.$$ Нули функции: $$x^2-4x=0\to x_1=0; x_2=4.$$
(2) $$x_0=-\frac{2}{2}=-1; y_0=(-1)^2+2(-1)=-1.$$ Нули функции: $$x^2+2x=0\to x_1=0; x_2=-2.$$
Построим график функции: $$y=m$$ - прямая, параллельная Ox от одной до трех точек пересечения имеет при $$m\in[-4;-1]\cup[0;+\infty)$$
Задание 23
Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как 6:11:19. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна 15.
1) Углы A,B,C - вписанные, потому равны половинам соответствующих дуг, потому отношение углов 6:11:29.
2) Т.к. $$\angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ},$$ если $$\angle A=6x,$$ то: $$6x+11x+29x=180^{\circ}\to x=5\to \angle A=30^{\circ}.$$
3) Напротив меньшей стороны лежит меньший угол $$\to BC=15. R=\frac{a}{2\sin{\alpha}}=\frac{BC}{2\sin{A}}=\frac{15}{2\cdot \frac{1}{2}}=15$$
Задание 24
Основание BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 12 и 75, $$AC=30$$. Докажите, что треугольники CBA и ACD подобны.
Задание 25
В треугольнике ABC на его медиане BM отмечена точка K так, что BK:KM=4:9. Прямая AK пересекает сторону BC в точке P. Найдите отношение площади треугольника AKM к площади четырехугольника KPCM.
1) Пусть $$S_{ABC}=S\to S_{ABM}=S_{BMC}=\frac{S}{2}.$$
2) $$\frac{S_{ABK}}{S_{AKM}}=\frac{BK}{KM}=\frac{4}{9}\to S_{AKM}=\frac{9}{13}S_{ABM}\frac{9}{13}\cdot \frac{S}{2}=\frac{9S}{26}.$$
3) Пусть $$ML\parallel AP\to ML$$ - средняя линия $$\triangle APL$$ и $$PL=LC.$$ Но $$KP\parallel ML\to \frac{BK}{KM}=\frac{BP}{PL}=\frac{4}{9},$$ тогда $$\frac{BP}{PC}=\frac{4}{18}.$$
4) $$\frac{S_{APC}}{S_{ABC}}=\frac{PC}{BC}=\frac{18}{22}\to S_{APC}=\frac{9}{11}S\to S_{KPOM}=S_{APC}-S_{AKM}=\frac{9S}{11}-\frac{9S}{26}=$$ $$=\frac{9S(26-11)}{26\cdot 11}=\frac{15\cdot 9S}{26\cdot 11}\to \frac{S_{AKM}}{S_{KPCM}}=\frac{9}{26}\cdot \frac{26\cdot 11}{15\cdot 9}=\frac{11}{15}.$$