Перейти к основному содержанию

Об одном способе решения неравенства второй степени с одной переменной

Стандартные методы решения неравенств второй степени с одной переменной изучаются в курсе алгебры основной школы сразу после квадратичной функции, ее графика и свойств.

Если внимательно присмотреться к содержанию материалов из учебников [1 и 2], посвященных построению графиков квадратичных функций и исследованию их свойств, то можно заметить вот что. В сознании учащихся уже при чтении графиков квадратичных функций, построенных по определенному алгоритму и с максимально возможной точностью, закладывается способ графического решения неравенств второй степени с одной переменной. Фактически это и есть первый этап формирования метода решения квадратных неравенств.

В том пункте учебника [1], который посвящен решению неравенств второй степени с одной переменной, происходит некоторая модернизация найденного пути. Ученику предлагается отказаться от излишней детализации способа построения графика, от нахождения координат вершины параболы, соблюдения масштаба. Фактически рекомендуется ограничиться изображением эскиза графика квадратичной функции, поскольку при рассмотрении более узкой задачи, связанной с решением неравенств второй степени, становится излишними как соблюдение масштаба, так и вычисление координат вершины параболы. Данную ступень «изобретения» способа решения квадратных неравенств хочется назвать вторым этапом формирования метода.

Далее при изучении метода интервалов решение квадратных неравенств рассматривается как частный случай решения неравенств типа $$(x+a)(x+b)...(x+z)<0,$$ $$(x+a)(x+b)...(x+z)>0$$ [1, с. 44-48; 2, с.176-179].

В старшем звене решение квадратного неравенства уже практически не является самостоятельной задачей, а часто выступает в качестве составляющей решения другого уравнения или неравенства, например показательного, логарифмического, тригонометрического. Количество квадратных неравенств, входящих в решение одной и той же задачи, может оказаться весьма значительным. А если так, то умение достаточно бегло находить решение любого квадратного неравенства становится просто необходимостью, например, как умение складывать числа, вычитать, умножать и делить их.

Возникает проблема: как научить учащихся беглому решению квадратных неравенств? Для разрешения данной проблемы мы предлагаем обратиться к трем теоремам, которые будут приведены ниже. Идея использования этих теорем заимствована из известного учебника А.П.Киселева [3, с. 208-221]. Терминология приведена в соответствие с ныне действующими учебниками.

Этот подход к решению названных неравенств «молчалив», не требует словесных пояснений и геометрических иллюстраций. Он особенно удобен при решении уравнений, неравенств или их систем с помощью метода прямого прослеживания, где обычно решение ведется как бы «без отрыва ручки от листка тетради».

Напомним читателю, что известный математик и методист Г.В.Дорофеев, комментируя подобный подход к решению квадратного неравенства, в свое время писал, что в нем может не быть ни графика параболы, ни даже координатной оси. «Решение квадратных неравенств (также, как и дробно-линейных неравенств) - достаточно простая задача, в которой ответ вполне можно получить, не выполняя рисунка» (см.: {Дорофеев Г.В}. Оценка решений стандартных задач в старшей школе // Математика в школе. - 1990. - № 2. - С.5). Итак, сформулируем и докажем теоремы.

Теорема I.


Пусть задан квадратный трехчлен $$ax^{2} +bx+c$$, где $$a>0$$, имеющий два различных действительных корня (D$$>$$0). Тогда:

  • при всех значениях переменной $$x$$, меньших меньшего корня и больших большего корня, квадратный трехчлен положителен;

  • при значениях х между корнями - квадратный трехчлен отрицателен.


Доказательство.

Известно, что $$D=b^{2} -4ac>0.$$ Значит, квадратный трехчлен можно разложить на линейные множители: $$ax^{2} +bx+c=a(x-x_{1} )(x-x_{2} ),$$ где $$x_{1} $$ и $$x_{2} $$ - корни квадратного трехчлена, причем $$x_{1}<x_{2} $$.

Рассмотрим квадратный трехчлен на трех промежутках.

Пусть $$x<x_{1} $$. Тогда $$x<x_{2} $$, $$x-x_{1}<0$$, $$x-x_{2} <0$$, $$(x-x_{1} )(x-x_{2} )>0$$, т.е. $$ax^{2} +bx+c>0$$.

Пусть $$x>x_{2} $$. Тогда $$x>x_{1} $$, $$x-x_{1}>0$$, $$x-x_{2} >0$$, $$(x-x_{1} )(x-x_{2} )>0$$, т.е. $$ax^{2} +bx+c>0$$.

Пусть $$x_{1}<x<x_{2}$$. Тогда: $$x-x_{1}>0$$, $$x-x_{2}<0$$, $$(x-x_{1})(x-x_{2})<0$$, т.е. $$ax^{2}+bx+c<0$$

ч.т.д.

Теорема II. 


Пусть задан квадратный трехчлен $$ax^{2} +bx+c$$, где $$a>0$$, имеющий два одинаковых действительных корня (D = 0). Тогда при всех значениях $$x$$, отличных от корней квадратного трехчлена, квадратный трехчлен положителен.


Доказательство.

Имеем: $$x_{1}=x_{2}$$. Пусть $$x\ne x_{1}$$, тогда $$x\ne x_{2}$$ и $$(x-x_{1} )(x-x_{2} )=(x-x_{1} )^{2} >0$$, т.е. $$ax^{2} +bx+c>0$$.

ч.т.д.

Теорема III.


Пусть задан квадратный трехчлен $$ax^{2} +bx+c$$, где $$a>0$$, не имеющий действительных корней (D<0). Тогда при всех значениях $$x$$ квадратный трехчлен положителен.


Доказательство.

Преобразуем квадратный трехчлен, выделяя полный квадрат двучлена: $$ax^{2} +bx+A=a\left(x^{2} +\frac{b}{a} x+\frac{c}{a} \right)=$$$$a\left(x^{2} +2\cdot \frac{b}{2a} x+\frac{b^{2} }{4a^{2} } +\frac{c}{a} -\frac{b^{2} }{4a^{2} } \right)=$$$$a\left(\left(x+\frac{b}{2a} \right)^{2} +\frac{4ac-b^{2} }{4a^{2} } \right).$$ Ясно, что для любого $$x\in R$$выполняется $$\left(x+\frac{b}{2a} \right)^{2} \ge 0,$$ $$4a^{2} >0;$$

по условию $$D=b^{2} -4ac<0$$, т.е. $$4ac-b^{2} >0$$, значит, $$\left(x+\frac{b}{2a} \right)^{2} +\frac{4ac-b^{2} }{4a^{2} } >0$$.

Итак, $$ $$$$ax^{2} +bx+c=a\left(\left(x+\frac{b}{2a} \right)^{2} +\frac{4ac-b^{2} }{4a^{2} } \right)>0$$.

ч.т.д.

Замечания.

Мы в этих трех теоремах сознательно не рассматриваем случай, когда {$$a<0$$}, так как умножением обеих частей неравенства на минус единицу и изменением знака неравенства на противоположный ученик даже в уме может (но и, очевидно, должен) перейти к неравенству, первый коэффициент которого будет положительным.

На данном этапе работы будет совсем не лишним возвращение к способу выделения полного квадрата двучлена в квадратном трехчлене, так как данный способ имеет теоретическое и практическое значение при решении задач, связанных с квадратным трехчленом (см.: Дорофеев Г.В. Квадратный трехчлен в задачах // Квантор, Львов. - 1991. - № 2. - С. 7).

Для полного овладения данным приемом при решении квадратных неравенств и усвоения применения на практике приведенных выше теорем достаточно с учащимися прорешать 9 примеров, которые приводим ниже

 

Пример 1. 

Решите неравенство $$6x^{2} -x-12\ge 0$$.

Р е ш е н и е. $$6x^{2} -x-12\ge 0$$$$\Leftrightarrow$$$$ \left[\begin{array}{l} {x\le \frac{1-\sqrt{1+288} }{12} } \\ {x\ge \frac{1+17}{12} } \end{array}\right. $$$$\Leftrightarrow$$$$ \left[\begin{array}{l} {x\le -\frac{4}{3} } \\ {x\ge \frac{3}{2} .} \end{array}\right. $$

О т в е т: $$\left(-\infty ;-\frac{4}{3} \right]\bigcup \left[\frac{3}{2} ;+\infty \right)$$.

Что должны помнить учащиеся?

При решении данного неравенства предварительное вычисление дискриминанта квадратного трехчлена не требуется, поскольку первый коэффициент положителен, свободный член отрицателен, следовательно, дискриминант заведомо положителен.

Применяется теорема I, часть 1.

 

Пример 2. 

Решите неравенство $$-3x^{2} +8x+3\ge 0$$.

Р е ш е н и е. $$3x^{2} -8x-3\le 0$$$$\Leftrightarrow$$$$ $$$$\frac{4-\sqrt{16+9} }{3} \le x\le \frac{4+5}{3} $$$$\Leftrightarrow$$$$ -\frac{1}{3} \le x\le 3$$.

О т в е т: $$\left[-\frac{1}{3} ;3\right]$$.

Что должны помнить учащиеся?

Умножением обеих частей неравенства на -1 и изменением знака неравенства на противоположный получаем новое неравенство, равносильное заданному.

Дискриминант квадратного трехчлена заведомо положителен.

Применяется теорема I, часть 2.

 

Пример 3.

Решите неравенство $$x^{2} -8x+12<0$$.

Р е ш е н и е. $$2

О т в е т: $$\left(2;6\right)$$.

Что должны помнить учащиеся?

Корни квадратного трехчлена легко подбираются с помощью теоремы, обратной теореме Виета.

Применяется теорема I, часть 2.

 

Пример 4. 

Решите неравенство $$6x^{2} -7x+2\ge 0$$.

Р е ш е н и е. $$6x^{2} -7x+2\ge 0$$$$\Leftrightarrow$$$$ \stackrel{D=49-48>0}{\longrightarrow} $$$$\Leftrightarrow$$$$ \left[\begin{array}{l} {x\le \frac{7-1}{12} } \\ {x\ge \frac{7+1}{12} } \end{array}\right. $$$$\Leftrightarrow$$$$ \left[\begin{array}{l} {x\le \frac{1}{2} } \\ {x\ge \frac{2}{3} .} \end{array}\right. $$

О т в е т: $$\left(-\infty ;\frac{1}{2} \right]\bigcup \left[\frac{2}{3} ;+\infty \right)$$.

Что должны помнить учащиеся?

В данном случае вычисление дискриминанта квадратного трехчлена легко произвести в уме.

Применяется теорема I, часть 1.

 

Пример 5.

Решите неравенство $$4x^{2} -4x-1<0.$$

Р е ш е н и е. $$4x^{2} -4x-1<0$$$$\Leftrightarrow$$$$ \frac{2-\sqrt{4+4} }{4}

О т в е т: $$\left(\frac{1-\sqrt{2} }{2} ;\frac{1+\sqrt{2} }{2} \right)$$.

Что должны помнить учащиеся?

Дискриминант квадратного трехчлена заведомо положителен.

Применяется теорема I, часть 2.

 

Пример 6.

Решите неравенство $$\left(x-2\right)\left(3-2x\right)<0.$$

Р е ш е н и е. $$2\left(x-2\right)\left(x-\frac{3}{2} \right)>0$$$$\Leftrightarrow$$$$ \left(x-2\right)\left(x-\frac{3}{2} \right)>0.$$

О т в е т: $$\left(-\infty ;\frac{3}{2} \right)\bigcup \left(2;+\infty \right).$$

Что должны помнить учащиеся?

Раскрывать скобки в левой части ни в коем случае не следует.

Корни квадратного трехчлена заведомо известны. Их два: 1,5 и 2 (различные).

Обе части неравенства делим на -2, меняем знак неравенства на противоположный.

Применяется теорема I, часть 1.

 

Пример 7. 

Решите неравенство $$3x^{2} +2x+1\le 0.$$

Р е ш е н и е. $$\frac{D}{4} =1-3<0.$$

О т в е т: Решений нет.

Что должны помнить учащиеся?

Дискриминант квадратного трехчлена отрицательный.

Применяется теорема III.

 

Пример 8.

Решите неравенство $$-\frac{1}{2} x^{2} +3x-4\frac{1}{2} \le 0.$$

Р е ш е н и е. $$-\frac{1}{2} x^{2} +3x-4\frac{1}{2} \le 0.$$$$\Leftrightarrow$$$$ $$$$x^{2} -6x+9\ge 0$$$$\Leftrightarrow$$$$ \left(x-3\right)^{2} \ge 0.$$

О т в е т: R.

Что должны помнить учащиеся?

Обе части неравенства умножаем на -2, меняем знак неравенства на противоположный.

Квадратный трехчлен - полный квадрат двучлена $$х-3$$.

Применяется теорема II.

 

Пример 9. 

Решите неравенство $$\frac{x}{5-x} \le 0.$$

Р е ш е н и е. $$\frac{x}{5-x} \le 0$$$$\Leftrightarrow$$$$ \frac{x\left(x-5\right)}{\left(x-5\right)^{2} } \ge 0$$$$\Leftrightarrow$$$$ $$$$\left\{\begin{array}{l} {x(x-5)\ge 0} \\ {x\ne 5} \end{array}\right. $$$$\Leftrightarrow$$$$ \left[\begin{array}{l} {x\le 0} \\ {x>5.} \end{array}\right. $$

О т в е т: $$\left(-\infty ;0\right]\bigcup \left(5;+\infty \right)$$.

Что должны помнить учащиеся?

Умножаем обе части неравенства на -1, меняем знак неравенства на противоположный.

Числитель и знаменатель левой части умножим на выражение {х-}5.

В числителе левой части неравенства получили квадратный трехчлен, у которого заведомо известны два корня: 0 и 5.

Знак полученной дроби не зависит от знака знаменателя, зависит только от знака числителя.

Применяется теорема I, часть 1.

 

Как работают отдельные теоремы, приведенные выше, покажем на конкретном примере.

Решим уравнение $$\log _{x^{2} -2x+2} \left(\log _{2x^{2} -12x+16} \left(x^{2} +5x\right)\right)=0.$$

Оно предлагалось абитуриентам химического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова в 1972 г. на вступительном экзамене по математике [4].

Р е ш е н и е. $$\log_{x^{2} -2x+2} \left(\log _{2x^{2} -12x+16} \left(x^{2} +5x\right)\right)=0$$$$\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{array}{c} {x^{2} -2x+2>0} \\ {x^{2} -2x+2\ne 1} \\ {\log _{2x^{2} -12x+16} \left(x^{2} +5x\right)=1} \end{array}\right. \mathop{\longleftrightarrow }\limits_{1} $$$$\Leftrightarrow$$$$ \left\{\begin{array}{c} {x\in R} \\ {\left(x-1\right)^{2} \ne 0} \\ {2x^{2} -12x+16>0} \\ {2x^{2} -12x+16\ne 1} \\ {x^{2} +5x>0} \\ {2x^{2} -12x+16=x^{2} +5x} \end{array}\right. \mathop{\longleftrightarrow }\limits_{2} $$$$\Leftrightarrow$$$$ \left\{\begin{array}{c} {x\ne 1} \\ {x^{2} -6x+8>0} \\ {2x^{2} -12x+15\ne 0} \\ {x^{2} -17x+16=0} \end{array}\right. \mathop{\longleftrightarrow }\limits_{3} $$$$\Leftrightarrow$$$$ \left\{\begin{array}{c} {x\ne 1} \\ {\left[\begin{array}{c} {x<2} \\ {x>4} \end{array}\right. } \\ {x\ne \frac{6\pm \sqrt{36-30} }{2} } \\ {\left[\begin{array}{c} {x=1} \\ {x=16} \end{array}\right. } \end{array}\right. \mathop{\longleftrightarrow }\limits_{4} $$$$\Leftrightarrow$$$$ \left\{\begin{array}{c} {\left[\begin{array}{c} {x<2} \\ {x>4} \end{array}\right. } \\ {x\ne \frac{6\pm \sqrt{6} }{2} } \\ {x=16} \end{array}\right. \mathop{\longleftrightarrow }\limits_{5} $$$$\Leftrightarrow$$$$ x=16.$$

О т в е т: 16.

Комментарии.

Равносильный переход (1). Дискриминант квадратного трехчлена $$x^{2} -2x+2$$ отрицателен. Квадратный трехчлен положителен при всех значениях переменной $$x$$ (теорема III).

Равносильный переход (2). Условие $$x\in R$$опускается вследствие того, что оно не накладывает никаких ограничений на $$x$$.

Так как в смешанной системе содержится уравнение $$2x^{2} -12x+16=x^{2} +5x,$$то неравенство $$x^{2} +5x>0$$можно опустить.

Равносильный переход (3). Корни квадратного трехчлена $$x^{2} -6x+8$$ легко подбираются с помощью теоремы, обратной теореме Виета.

Равносильный переход (4). Нетрудно заметить, что найденный корень, равный 1, является посторонним. Его следует отбросить вместе с неравенством $$x\ne 1$$.

Равносильный переход (5). Корень уравнения $$2x^{2} -12x+16=0$$, равный 16, удовлетворяет всем остальным неравенствам, входящим в систему. Он и будет искомым корнем заданного уравнения.

Приведенные выше примеры интересны не столько своей математической частью, сколько методической. Во-первых, они охватывают все важнейшие случаи, а во-вторых, подсказывают учителям, как избежать ненужных подробностей и длиннот при оформлении решений.

Литература.

1. Алгебра: Учебник для 9 кл. общеобразовательных учреждений / Под ред. С.А.Теляковского. - М.: Просвещение, 1995.

2. {Алимов Ш.А. и др}. Алгебра: Учебник для 8 кл. общеобразовательных учреждений - М.: Просвещение, 1996.

3. {Киселев А.П.} Алгебра: Учебник для 8-10 кл. средних школ - М.: Учпедгиз, 1954.

4. {Дорофеев Г.В. и др.} Пособие по математике для поступающих в вузы. Избранные вопросы элементарной математики. - М.: Наука, 1976.

Замечание автора.

Последнее логарифмическое уравнение лучше решать каждый раз последующей заменой уравнением-следствием, а не методом прямого прослеживания (методом смешанных систем). И в конце проверить полученные результаты.