О решении некоторых иррациональных уравнений вида
$$\sqrt{a} \pm \sqrt{b} =\sqrt{c} \pm \sqrt{d} $$
Поводом для обращения к этой теме послужило размещение на сайте Александра Ларина нескольких иррациональных уравнений указанного вида, предложенных старшеклассникам для самостоятельного решения.
Приведем список таких уравнений.
$$1) \sqrt{9x+1} +\sqrt{6x-1} =\sqrt{5x+1} +\sqrt{8x+3} $$
$$2) \sqrt{3x+5} +\sqrt{5x-4} =\sqrt{3x+8} +\sqrt{5x-7} $$
$$3) \sqrt{8x+17} +\sqrt{3x+1} =\sqrt{7x+18} +\sqrt{2x+2} $$
$$4) \sqrt{4x-7} -\sqrt{2x-3} =\sqrt{9x-20} -\sqrt{7x-10} $$
$$5) \sqrt{8x+1} +\sqrt{3x-5} =\sqrt{7x+4} +\sqrt{2x-5} $$
$$6) \sqrt{x+9} -\sqrt{x+4} =\sqrt{x+1} -\sqrt{x} $$
$$7) 2\left(\sqrt{x+15} -\sqrt{x} \right)=3\left(\sqrt{x+3} -\sqrt{x+1} \right)$$
$$8) 3\left(\sqrt{x+5} -\sqrt{x+1} \right)=2\left(\sqrt{x+17} -\sqrt{x+2} \right)$$
$$9) \sqrt{2x^{2} -x+5} +\sqrt{5x^{2} -7x+9} =\sqrt{x^{2} +2x+3} +\sqrt{4x^{2} -4x+7} $$
$$10) \sqrt{8x+18} +\sqrt{3x-4} =\sqrt{7x+22} +\sqrt{2x} $$
$$11) \sqrt{16x+1} +\sqrt{6x-5} =\sqrt{14x+4} +\sqrt{4x-2} $$
$$12) \sqrt{9x+28} +\sqrt{6x+17} =\sqrt{8x+27} +\sqrt{5x+16} $$
$$13) \sqrt{7x+1} +\sqrt{4x+2} =\sqrt{8x} +\sqrt{5x+1} $$
Конечно, все перечисленные уравнения можно решить стандартным методом, то есть путем многократного возведения в квадрат обеих частей уравнения после уединения радикала (если, конечно, такое уединение представляется возможным). Но такой путь в наших случаях, наверняка, будет сопряжен с громоздкими вычислениями. Поэтому мы будем стремиться хоть каким-то образом избежать подобных сложностей, если такая возможность, вообще говоря, имеется.
Обратим внимание на уравнение вида $$\sqrt{a} -\sqrt{b} =\sqrt{c} -\sqrt{d} $$ (*), в котором $$a,b,c$$ и $$d$$ связаны соотношением $$a-b=-(c-d).$$
При выполнении указанного соотношения иррациональное уравнение вида $$\sqrt{a} -\sqrt{b} =\sqrt{c} -\sqrt{d} $$ легко решается путем оценки левой и правой частей уравнения по знаку.
Рассмотрим уравнение $$\sqrt{9x+1} +\sqrt{6x-1} =\sqrt{5x+1} +\sqrt{8x+3} $$
Приведем его к виду *: $$\sqrt{9x+1} -\sqrt{8x+3} =\sqrt{5x+1} -\sqrt{6x-1} $$. Потребуем, чтобы обе части этого уравнения имели одинаковый знак или были равны нулю.
Совпадение знаков двух выражений, содержащих переменную (в данном случае $$\sqrt{9x+1} -\sqrt{8x+3} $$ и$$\sqrt{5x+1} -\sqrt{6x-1} $$), разумеется, не обязательно обеспечит равенство этих выражений, поскольку такое совпадение является всего лишь необходимым условием их равенства. Однако, если такое совпадение окажется при единственном значении переменной, то такое значение и только оно может оказаться корнем рассматриваемого иррационального уравнения. Проверив его пригодность путем подстановки в исходное уравнение, мы без больших "затрат" решим рассматриваемое иррациональное уравнение.
Так мы и поступим при решении уравнения $$(\sqrt{9x+1} -\sqrt{8x+3} )\cdot (\sqrt{5x+1} -\sqrt{6x-1} )\ge 0 \Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{array}{c} {(9x+1-8x-3)\cdot (5x+1-6x+1)\ge 0} \\ {x\ge \frac{1}{6} } \end{array}\right. \Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{array}{c} {(x-2)\cdot (-x+2)\ge 0} \\ {x\ge \frac{1}{6} } \end{array}\right. \Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{array}{c} {(x-2)^{2} \le 0} \\ {x\ge \frac{1}{6} } \end{array}\right. \Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{array}{c} {x=2} \\ {x\ge \frac{1}{6} } \end{array}\right. \Leftrightarrow$$ $$x=2.$$
Нам на сей раз явно повезло: удалось установить, что обе части исходного уравнения равны нулю при единственном значении переменной $$x,$$равном 2. При иных же значениях переменной знаки обеих частей уравнения, разумеется, не совпадут. Осталось всего лишь проверить, является ли число 2 корнем исходного уравнения. Проверим:
$$\sqrt{9\cdot 2+1} +\sqrt{6\cdot 2-1} =\sqrt{5\cdot 2+1} +\sqrt{8\cdot 2+3} \Leftrightarrow$$ $$\sqrt{19} +\sqrt{11} =\sqrt{11} +\sqrt{19} . $$
Оказалось, что число 2 удовлетворяет исходному уравнению.
Ответ: 2.
Теперь решим уравнение под номером 9:
$$\sqrt{2x^{2} -x+5} +\sqrt{5x^{2} -7x+9} =\sqrt{x^{2} +2x+3} +\sqrt{4x^{2} -4x+7} $$
Приведем его к виду (*):
$$\sqrt{2x^{2} -x+5} -\sqrt{x^{2} +2x+3} =\sqrt{4x^{2} -4x+7} -\sqrt{5x^{2} -7x+9} $$
Здесь: $$2x^{2} -x+5-x^{2} -2x-3=x^{2} -3x+2$$
Тогда: $$4x^{2} -4x+7-5x^{2} +7x-9=-x^{2} +3x-2=-(x^{2} -3x+2).$$
Путь показанный выше, приемлем.
Потребуем, чтобы обе части уравнения были одного знака или равны нулю.
$$(\sqrt{2x^{2} -x+5} -\sqrt{x^{2} +2x+3} )\cdot (\sqrt{4x^{2} -4x+7} -\sqrt{5x^{2} -7x+9} )\ge 0\Rightarrow$$ $$(2x^{2} -x+5-x^{2} -2x-3)\cdot (4x^{2} -4x+7-5x^{2} +7x-9)\ge 0\Leftrightarrow$$ $$(x^{2} -3x+2)\cdot (-x^{2} +3x-2)\ge 0 \Leftrightarrow$$ $$(x^{2} -3x+2)^{2} \le 0 \Leftrightarrow$$ $$(x^{2} -3x+2)^{2} =0 \Leftrightarrow$$$$x^{2} -3x+2=0 \Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{array}{c} {E=1} \\ {E=2} \end{array}\right.$$
Оба найденных значения х удовлетворяют исходному уравнению. Это легко проверить.
Ответ: 1; 2.
Таким же способом можно решить уравнения: 3), 10), 11), 12) и 13), приведенные выше. Их следует представить в виде:
Рассмотрим еще один вид иррационального уравнения вида
$$\sqrt{a} +\sqrt{b} =\sqrt{c} +\sqrt{d} $$
$$\sqrt{3x+5} +\sqrt{5x-4} =\sqrt{3x+8} +\sqrt{5x-7}$$
Приведем его к виду (*): $$\sqrt{3x+5} -\sqrt{5x-7} =\sqrt{3x+8} -\sqrt{5x-4} $$. Однако, в уравнении $$\sqrt{a} -\sqrt{b} =\sqrt{c} -\sqrt{d} $$ соотношение $$a-b=-(c-d)$$не выполняется. Но выполняется другое соотношение: $$a-b=c-d$$.
В нашем примере: $$3x+5-5x+7=-2x+12$$, $$3x+8-5x+4=-2x+12$$.
Оказывается, и в этом случае можно подобрать более удобный путь, нежели многократное возведение обеих частей уравнения в квадрат. Рассмотрим этот путь.
Пусть $$m=\sqrt{3x+5} $$, $$n=\sqrt{5x-4} $$, $$p=\sqrt{3x+8} $$, $$q=\sqrt{5x-7} $$.
Тогда: уравнение (2) примет вид: $$m+n=p+q$$, откуда: $$m-p=q-n;$$ $$m^{2} =3x+5,$$ $$n^{2} =5x-4,$$ $$p^{2} =3x+8,$$ $$q^{2} =5x-7.$$
При этом: $$m^{2} -p^{2} =-3$$, $$q^{2} -n^{2} =-3$$. То есть $$m^{2} -p^{2} =$$$$q^{2} -n^{2} $$ $$\Leftrightarrow $$ $$(m+p)(m-p)=(n+q)(q-n)$$ $$\Leftrightarrow$$ $$(m+p)(m-p)-(n+q)(q-n)=0$$.
Так как $$m-p=q-n,$$ то $$(m+p)(q-n)-(n+q)(q-n)=0$$$$\Leftrightarrow $$$$(q-n)(m+p-n-q)=0$$ $$\Leftrightarrow $$ $$\Leftrightarrow $$ $$\left[\begin{array}{c} {n=q} \\ {m-n=q-p} \end{array}\right. $$. Но $$n\ne q,$$ так как $$\sqrt{5x-4} \ne $$$$\sqrt{5x-7} $$. Тогда непременно должно выполняться равенство $$m-n=q-p$$
По условию $$m+n=p+q$$, а по только что полученному: $$m-n=q-p$$. Почленно складывая эти два равенства, будем иметь: $$2m=2q$$ $$\Leftrightarrow $$ $$m=q.$$
Итак, мы получили, что $$\sqrt{3x+5} =\sqrt{5x-7} $$ $$\Rightarrow $$ $$3x+5=5x-7$$ $$\Leftrightarrow $$ $$2x=12$$ $$\Leftrightarrow $$ $$x=6.$$
Проверка показывает, что число 6 удовлетворяет исходному уравнению.
Для данного случая нам известен еще один путь исследования, который также легко приводит к результату. Покажем и его.
Мы решаем уравнение $$\sqrt{3x+5} +\sqrt{5x-4} =\sqrt{3x+8} +\sqrt{5x-7} (2)$$
Заменяем его уравнением $$\sqrt{3x+5} -\sqrt{3x+8} =\sqrt{5x-7} -\sqrt{5x-4} $$, равносильным исходному.
«Отправим» иррациональности в левой и правой частях последнего уравнения в знаменатель. Получим:
$$\frac{3x+5-3x-8}{\sqrt{3x+5} +\sqrt{3x+8} } =\frac{5x-7-5x+4}{\sqrt{5x-7} +\sqrt{5x-4} } $$ $$\Leftrightarrow $$ $$\frac{-3}{\sqrt{3x+5} +\sqrt{3x+8} } =\frac{-3}{\sqrt{5x-7} +\sqrt{5x-4} } $$. Откуда:$$\sqrt{3x+5} +\sqrt{3x+8} =\sqrt{5x-7} +\sqrt{5x-4} $$. Но мы уже имеем равенство:
$$\sqrt{3x+5} -\sqrt{3x+8} =\sqrt{5x-7} -\sqrt{5x-4} .$$
Сложив почленно обе части последних двух равенств, будем иметь:
$$2\sqrt{3x+5} =2\sqrt{5x-7} \Leftrightarrow$$ $$\sqrt{3x+5} =\sqrt{5x-7} \Rightarrow$$ $$3x+5=5x-7 \Leftrightarrow$$ $$2x=12\Leftrightarrow$$ $$x=6.$$
Ответ: 6.
Рассмотрим еще несколько видов иррациональных уравнений вида $$\sqrt{a} \pm \sqrt{b} =\sqrt{c} \pm \sqrt{d} $$, которые будем решать как традиционным, так и иным способом.
а) $$\sqrt{4x-7} -\sqrt{2x-3} =\sqrt{9x-20} -\sqrt{7x-10}(4) $$
Заметим здесь: $$4x-7-2x+3=2x-4$$; $$9x-20-7x+10=2x-10$$. Правые части этих двух равенств при всех допустимых значениях переменной {х} отличаются друг от друга на 6. Ранее найденные приемы к успеху нас не приведут.
Попытаемся решить это уравнение известным нам стандартным методом. Но нам уравнение лучше преобразовать к виду $$\sqrt{4x-7} +\sqrt{7x-10} =\sqrt{9x-20} +\sqrt{2x-3} $$, чтобы обе его части заведомо были неотрицательными. $$\sqrt{4x-7} +\sqrt{7x-10} =\sqrt{9x-20} +\sqrt{2x-3}$$ $$\Rightarrow$$ $$4x-7+7x-10+2\sqrt{(4x-7)(7x-10)} =9x-20+2x-3+2\sqrt{(9x-20)(2x-3)}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$2\sqrt{(4x-7)(7x-10)} =-23+17+2\sqrt{(9x-20)(2x-3)}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\sqrt{(4x-7)(7x-10)} =\sqrt{(9x-20)(2x-3)} -3$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\sqrt{(4x-7)(7x-10)} +3=\sqrt{(9x-20)(2x-3)}$$ $$\Rightarrow$$ $$28x^{2} -49x-40x+70+9+6\sqrt{28x^{2} -89x+70} =18x^{2} -67x+60$$ $$\Leftrightarrow$$ $$6\sqrt{28x^{2} -89x+70} =-10x^{2} +22x-19. $$
Далее продолжать решение не имеет смысла: достаточно заметить, что левая часть последнего равенства при допустимых значениях х неотрицательна, тогда как правая часть при тех же значениях переменной будет отрицательной. Для доказательства последнего факта достаточно показать, что $$-10x^{2} +22x-19<0$$ при всех $$x\in R.$$Действительно, $$-10x^{2} +22x-19<0$$ $$\Leftrightarrow $$ $$10x^{2} -22x+19>0$$. $$\frac{D}{4} =121-190<0.$$ Отсюда вывод: исходное уравнение решений не имеет.
А есть ли иной путь исследования? Оказывается, есть.
Преобразуем уравнение (4) так: $$\sqrt{4x-7} -\sqrt{9x-20} =\sqrt{2x-3} -\sqrt{7x-10} $$ (4*).
Потребуем, чтобы обе части последнего уравнения совпали по знаку или были равны нулю. $$(\sqrt{4x-7} -\sqrt{9x-20} )(\sqrt{2x-3} -\sqrt{7x-10} )\ge 0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{array}{c} {x\ge \frac{20}{9} } \\ {(4x-7-9x+20)\cdot (2x-3-7x+10)\ge 0} \end{array}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{array}{c} {x\ge \frac{20}{9} } \\ {(-5x+13)\cdot (-5x+7)\ge 0} \end{array}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{array}{c} {x\ge \frac{20}{9} } \\ {(x-2,6)\cdot (x-1,4)\ge 0} \end{array}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{array}{c} {x\ge \frac{20}{9} } \\ {\left[\begin{array}{c} {x\le 1,4} \\ {x\ge 2,6} \end{array}\right. } \end{array}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x\ge 2,6.$$
Мы получили, что обе части уравнения (4*) имеют одинаковый знак при $$x\ge 2,6$$. Однако, для полноты решения нам необходимо найти значения {х}, при которых также будет совпадение знаков обеих частей уравнения $$\sqrt{4x-7} -\sqrt{2x-3} =\sqrt{9x-20} -\sqrt{7x-10} $$, такого, как оно задано условием задачи.
Решим неравенство: $$(\sqrt{4x-7} -\sqrt{2x-3} )\cdot (\sqrt{9x-20} -\sqrt{7x-10} )\ge 0$$ $$\Leftrightarrow $$$$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {x\ge \frac{20}{9} } \\ {(4x-7-2x+3)\cdot (9x-20-7x+10)\ge 0} \end{array}\right. $$ $$\Leftrightarrow $$ $$\left\{\begin{array}{c} {x\ge \frac{20}{9} } \\ {(2x-4)\cdot (2x-10)\ge 0} \end{array}\right. $$ $$\Leftrightarrow $$$$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {x\ge \frac{20}{9} } \\ {(x-2)\cdot (x-5)\ge 0} \end{array}\right. $$ $$\Leftrightarrow $$ $$\left\{\begin{array}{c} {x\ge \frac{20}{9} } \\ {\left[\begin{array}{c} {x\le 2} \\ {x\ge 5} \end{array}\right. } \end{array}\right. $$ $$\Leftrightarrow $$ $$x\ge 5.$$
Мы получили два неравенства: $$x\ge 2,6$$ и $$x\ge 5.$$ Выберем из них более сильное неравенство. Таковым будет $$x\ge 5.$$ Следовательно, если уравнение (4) имеет хотя бы один корень, то он обязан быть не меньшим 5.
В обеих частях уравнения (4) отправим иррациональность в знаменатель.$$\sqrt{4x-7} -\sqrt{2x-3} =\sqrt{9x-20} -\sqrt{7x-10} $$ $$\Leftrightarrow $$$$\frac{4x-7-2x+3}{\sqrt{4x-7} +\sqrt{2x-3} } =\frac{9x-20-7x+10}{\sqrt{9x-20} +\sqrt{7x-10} } $$ $$\Leftrightarrow $$$$\Leftrightarrow \frac{2x-4}{\sqrt{4x-7} +\sqrt{2x-3} } =\frac{2x-10}{\sqrt{9x-20} +\sqrt{7x-10} } $$ $$\Leftrightarrow $$ $$\frac{x-2}{\sqrt{4x-7} +\sqrt{2x-3} } =\frac{x-5}{\sqrt{9x-20} +\sqrt{7x-10} } $$ .
Заметим, что при любом значении $$x\ge 5$$: $$x-2>x-5\ge 0;$$
$$\sqrt{9x-20} >\sqrt{4x-7} >0,$$ поскольку $$9x-20>4x-7$$ $$\Leftrightarrow $$ $$5x>13$$ $$\Leftrightarrow $$ $$x>2,6$$.
$$\sqrt{7x-10} >\sqrt{2x-3} >0,$$ так как $$7x-10>2x-3$$ $$\Leftrightarrow $$ $$5x>7$$ $$\Leftrightarrow $$ $$x>1,4$$.
Следовательно, при $$x\ge 5$$ выполняются неравенства: $$x-2>x-5\geq 0;$$
$$\sqrt{9x-20} +\sqrt{7x-10} >\sqrt{4x-7} +\sqrt{2x-3} >0$$, значит, и неравенство $$\frac{x-2}{\sqrt{4x-7} +\sqrt{2x-3} } >\frac{x-5}{\sqrt{9x-20} +\sqrt{7x-10} } $$, что исключает равенство $$\frac{x-2}{\sqrt{4x-7} +\sqrt{2x-3} } =\frac{x-5}{\sqrt{9x-20} +\sqrt{7x-10} } .$$
А это значит, что уравнение (4) корней не имеет.
Ответ: решений нет.
б) $$\sqrt{8x+1} +\sqrt{3x-5} =\sqrt{7x+4} +\sqrt{2x-5} $$ (5)
Приведем уравнение (5) к виду (*): $$\sqrt{8x+1} -\sqrt{7x+4} =\sqrt{2x-5} -\sqrt{3x-5} $$. Ранее встречавшихся соотношений между $$a,b,c$$ и $$d$$здесь нет.
Попробуем решить это уравнение стандартным методом. $$\sqrt{8x+1} +\sqrt{3x-5} =\sqrt{7x+4} +\sqrt{2x-5} \Rightarrow $$ $$\Rightarrow 8x+1+3x-5+2\sqrt{(8x+1)(3x-5)} = 7x+4+2x-5+2\sqrt{(7x+4)(2x-5)}$$$$\Leftrightarrow$$$$11x-4+2\sqrt{24x^{2} +3x-40x-5} =9x-1+2\sqrt{14x^{2} +8x-35x-20}$$$$\Leftrightarrow$$$$2x-3+2\sqrt{24x^{2} -37x-5} =2\sqrt{14x^{2} -27x-20}$$$$\Rightarrow $$ $$\Rightarrow 4x^{2} -12x+9+4(2x-3)\sqrt{24x^{2} -37x-5} +4(24x^{2} -37x-5)=4(14x^{2} -27x-20)$$$$\Leftrightarrow $$$$4x^{2} -12x+9+(8x-12)\sqrt{24x^{2} -37x-5} +96x^{2} -148x-20=56x^{2} -108x-80$$ $$\Leftrightarrow$$$$100x^{2} -160x-11+(8x-12)\sqrt{24x^{2} -37x-5} =56x^{2} -108x-80$$ $$\Leftrightarrow$$$$(8x-12)\sqrt{24x^{2} -37x-5} =-44x^{2} +52x-69. $$
Оценим левую и правую части последнего уравнения.
ОДЗ исходного уравнения есть множество $$\left[2,5;+\infty \right)$$. Ясно, что при $$x\ge 2,5$$ $$8x-6>0$$, $$\sqrt{24x^{2} -37x-5} \ge 0$$, следовательно, левая часть неотрицательна. Докажем, что правая часть при всех значениях х будет отрицательной.
Действительно, $$-44x^{2} +52x-69<0$$ $$\Leftrightarrow $$ $$44x^{2} -52x+69>0$$. $$\frac{D}{4} =26^{2} -44\cdot 69=676-3036<0.$$
Таким образом, рассматриваемое уравнение решений не имеет.
Теперь используем другой подход к исследованию.
Оценим по знаку обе части уравнения $$\sqrt{8x+1} -\sqrt{2x-5} =\sqrt{7x+4} -\sqrt{3x-5} $$ (5*), равносильного исходному. $$(\sqrt{8x+1} -\sqrt{2x-5} )\cdot (\sqrt{7x+4} -\sqrt{3x-5} )\ge 0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{array}{c} {x\ge 2,5} \\ {(8x+1-2x+5)\cdot (7x+4-3x+5)\ge 0} \end{array}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{array}{c} {x\ge 2,5} \\ {(6x+6)\cdot (4x+9)\ge 0} \end{array}\right.$$ $$\Leftrightarrow $$$$\left\{\begin{array}{c} {x\ge 2,5} \\ {(x+1)\cdot (x+2,25)\ge 0} \end{array}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{array}{c} {x\ge 2,5} \\ {\left[\begin{array}{c} {x\le -2,25} \\ {x\ge -1} \end{array}\right. } \end{array}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x\ge 2,5.$$
Оценим по знаку левую и правую части уравнения $$\sqrt{8x+1} -\sqrt{7x+4} =\sqrt{2x-5} -\sqrt{3x-5} $$ (5**), равносильного также уравнению (5).
$$(\sqrt{8x+1} -\sqrt{7x+4} )\cdot (\sqrt{2x-5} -\sqrt{3x-5} )\ge 0$$$$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{array}{c} {x\ge 2,5} \\ {(8x+1-7x-4)\cdot (2x-5-3x+5)\ge 0} \end{array}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{array}{c} {x\ge 2,5} \\ {(x-3)\cdot (-x)\ge 0} \end{array}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{array}{c} {x\ge 2,5} \\ {E(x-3)\le 0} \end{array}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{array}{c} {x\ge 2,5} \\ {0\le E\le 3} \end{array}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$2,5\le x\le 3. $$
Пересечением найденных ограничений на х является множество $$[2,5;3].$$
Пусть $$f(x)=\sqrt{8x+1} +\sqrt{3x-5} $$, $$g(x)=\sqrt{7x+4} +\sqrt{2x-5} .$$ Каждая из этих функций монотонно возрастающая как сумма возрастающих функций. На множестве $$[2,5;3]$$ непрерывные и строго возрастающие функции $$f(x)$$ и $$g(x)$$ принимают свои наибольшее и наименьшее значения. Покажем, что наибольшее значение функции $$g(x)$$=$$g(3)$$ будет меньше наименьшего значения функции $$f(x)$$=$$f(2,5)$$. $$g(3)=\sqrt{7\cdot 3+4} +\sqrt{2\cdot 3-5} =5+1=6;$$ $$f(2,5)=\sqrt{8\cdot 2,5+1} +\sqrt{3\cdot 2,5-5} =\sqrt{21} +\sqrt{2,5} .$$
Докажем, что $$6<\sqrt{21} +\sqrt{2,5} $$. Действительно, $$6=4,5+1,5=\sqrt{20,25} +\sqrt{2,25} <\sqrt{21} +\sqrt{2,5} $$, откуда: на $$[2,5;3]$$$$g(x)
Ответ: решений нет.
в) $$\sqrt{x+9} -\sqrt{x+4} =\sqrt{x+1} -\sqrt{x} (6)$$
Решение данного уравнения будем вести стандартным методом.
$$\sqrt{x+9} -\sqrt{x+4} =\sqrt{x+1} -\sqrt{x}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\sqrt{x+9} +\sqrt{x} =\sqrt{x+1} +\sqrt{x+4}$$ $$\Rightarrow$$$$x+9+x+2\sqrt{x^{2} +9x} =x+1+x+4+2\sqrt{x^{2} +5x+4}$$ $$\Leftrightarrow$$$$9+2\sqrt{x^{2} +9x} =1+4+2\sqrt{x^{2} +5x+4}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$4+2\sqrt{x^{2} +9x} =2\sqrt{x^{2} +5x+4}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$4+2\sqrt{x^{2} +9x} =2\sqrt{x^{2} +5x+4}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$4+E^{2} +9E+4\sqrt{x^{2} +9x} =x^{2} +5x+4$$ $$\Leftrightarrow$$ $$4\sqrt{x^{2} +9x} +9x=5x$$ $$\Leftrightarrow$$$$4\sqrt{x^{2} +9x} =-4x$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\sqrt{x^{2} +9x} =-x$$ $$\Rightarrow$$ $$x^{2} +9x=x^{2}$$ $$\Leftrightarrow$$$$9x=0$$ $$\Leftrightarrow$$$$x=0.$$
0 удовлетворяет исходному уравнению.Выберем другой путь.
Ограничения на х: $$x\ge 0.$$ $$\sqrt{x+9} -\sqrt{x+4} =\sqrt{x+1} -\sqrt{x}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\sqrt{x+9} -\sqrt{x+1} =\sqrt{x+4} -\sqrt{x} (6*)$$
Отправим иррациональности в обеих частях уравнения (6*) в знаменатель.
$$\frac{x+9-x-1}{\sqrt{x+9} +\sqrt{x+1} } =\frac{x+4-x}{\sqrt{x+4} +\sqrt{x} }$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\frac{8}{\sqrt{x+9} +\sqrt{x+1} } =\frac{4}{\sqrt{x+4} +\sqrt{x} }$$ $$\Leftrightarrow$$$$\frac{2}{\sqrt{x+9} +\sqrt{x+1} } =\frac{1}{\sqrt{x+4} +\sqrt{x} }$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\sqrt{x+9} +\sqrt{x+1} =2\sqrt{x+4} +2\sqrt{x} (6**)$$
Сложим почленно уравнения (6*) и (6**). $$2\sqrt{x+9} =3\sqrt{x+4} +\sqrt{x}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$2\sqrt{x+9} -3\sqrt{x+4} =\sqrt{x} . $$
Заведомо $$\sqrt{x} \ge 0.$$ Значит, $$\left\{\begin{array}{c} {x\ge 0} \\ {2\sqrt{x+9} \ge 3\sqrt{x+4} } \end{array}\right. $$ $$\Leftrightarrow $$ $$\left\{\begin{array}{c} {x\ge 0} \\ {4(x+9)\ge 9(x+4)} \end{array}\right. $$ $$\Leftrightarrow $$ $$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {x\ge 0} \\ {4x+36\ge 9x+36} \end{array}\right. $$$$ $$ $$\Leftrightarrow $$ $$\left\{\begin{array}{c} {x\ge 0} \\ {5x\le 0} \end{array}\right. $$ $$\Leftrightarrow $$ $$\left\{\begin{array}{c} {x\ge 0} \\ {x\le 0} \end{array}\right. $$ $$\Leftrightarrow $$ $$x=0.$$
Ответ: 0.
г) $$2\left(\sqrt{x+15} -\sqrt{x} \right)=3\left(\sqrt{x+3} -\sqrt{x-1} \right) (7)$$
$$2\left(\sqrt{x+15} -\sqrt{x} \right)=3\left(\sqrt{x+3} -\sqrt{x-1} \right)$$ $$\Leftrightarrow$$ $$2\sqrt{x+15} +3\sqrt{x-1} =2\sqrt{x} +3\sqrt{x+3}$$ $$\Rightarrow$$$$4(x+15)+9(x-1)+12\sqrt{(x+15)(x-1)} =4x+9(x+3)+12\sqrt{x(x+3)}$$ $$\Leftrightarrow$$$$4x+60+9x-9+12\sqrt{x^{2} +14x-15} =4x+9x+27+12\sqrt{x^{2} +3x}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$12\sqrt{x^{2} +14x-15} =-24+12\sqrt{x^{2} +3x}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\sqrt{x^{2} +14x-15} =-2+\sqrt{x^{2} +3x}$$ $$\Rightarrow$$ $$x^{2} +14x-15=4+x^{2} +3x-4\sqrt{x^{2} +3x}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$4\sqrt{x^{2} +3x} =-11x+19$$ $$\Rightarrow$$ $$16x^{2} +48x=121-418x+361$$ $$\Leftrightarrow$$ $$105x^{2} -466x+361=0$$ $$\Leftrightarrow$$$$x=\frac{233\pm \sqrt{54289-37905} }{105}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x=\frac{233\pm \sqrt{16384} }{105}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x=\frac{233\pm 128}{105} . $$
Корень $$x_{1} =\frac{233-128}{105} =1$$ удовлетворяет исходному уравнению, так как $$2\cdot 4-2\cdot 1=3\cdot 2-0$$ $$\Leftrightarrow $$ $$6=6$$.
Корень $$x_{2} =\frac{233+128}{105} =\frac{361}{105} $$ является посторонним, поскольку при $$x=\frac{361}{105} $$ правая часть уравнения $$4\sqrt{x^{2} +3x} =-11x+19$$ становится отрицательной. Докажем это. $$-\frac{11\cdot 361}{105} +19=\frac{-3971+1995}{105} <0,$$ тогда как левая часть неотрицательна.
Итак, $$1-$$искомый корень.
Теперь используем альтернативный путь исследования. Ограничения на х: $$x\ge 1.$$
$$2\left(\sqrt{x+15} -\sqrt{x} \right)=3\left(\sqrt{x+3} -\sqrt{x-1} \right)$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\frac{2(x+15)-2x}{\sqrt{x+15} +\sqrt{x} } =\frac{3(x+3)-3(x-1)}{\sqrt{x+3} +\sqrt{x-1} }$$ $$\Leftrightarrow$$$$\frac{2x+30-2x}{\sqrt{x+15} +\sqrt{x} } =\frac{3x+9-3x+3}{\sqrt{x+3} +\sqrt{x-1} }$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\frac{30}{\sqrt{x+15} +\sqrt{x} } =\frac{12}{\sqrt{x+3} +\sqrt{x-1} }$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \frac{5}{\sqrt{x+15} +\sqrt{x} } =\frac{2}{\sqrt{x+3} +\sqrt{x-1} }$$ $$\Leftrightarrow$$ $$2\sqrt{x+15} +2\sqrt{x} =5\sqrt{x+3} +5\sqrt{x-1} (7*)$$
Уравнение (7) запишем в виде $$2\sqrt{x+15} -2\sqrt{x} =3\sqrt{x+3} -3\sqrt{x-1} $$ и сложим почленно с уравнением (7*). Получим: $$4\sqrt{x+15} =8\sqrt{x+3} +2\sqrt{x-1} $$ $$\Leftrightarrow $$ $$2\sqrt{x+15} -4\sqrt{x+3} =\sqrt{x-1} $$.
Поскольку $$x\ge 1$$, $$\sqrt{x-1} \ge 1$$. Значит, $$2\sqrt{x+15} -4\sqrt{x+3} \ge 0$$ $$\Leftrightarrow $$ $$\left\{\begin{array}{c} {x\ge 1} \\ {\sqrt{x+15} \ge 2\sqrt{x+3} } \end{array}\right. $$$$\Leftrightarrow $$$$\Leftrightarrow $$ $$\left\{\begin{array}{c} {x\ge 1} \\ {x+15\ge 4(x+3)} \end{array}\right. $$ $$\Leftrightarrow $$ $$\left\{\begin{array}{c} {x\ge 1} \\ {x+15\ge 4x+12} \end{array}\right. $$ $$\Leftrightarrow $$ $$\left\{\begin{array}{c} {x\ge 1} \\ {3x\le 3} \end{array}\right. $$ $$\Leftrightarrow $$ $$\left\{\begin{array}{c} {x\ge 1} \\ {x\le 1} \end{array}\right. $$ $$\Leftrightarrow $$ $$E=1$$.
Таким образом, обе части уравнения $$2\sqrt{x+15} -4\sqrt{x+3} =\sqrt{x-1} $$обращаются в нуль (лишены знака) при единственном значении переменной, равном 1, при иных значениях, удовлетворяющих условию $$x\ge 1$$, имеют разные знаки.
Проверка показывает, что число 1 удовлетворяет исходному уравнению.
Ответ: 1.
д) $$3\left(\sqrt{x+5} -\sqrt{x+1} \right)=2\left(\sqrt{x+17} -\sqrt{x+2} \right) (8)$$
$$3\left(\sqrt{x+5} -\sqrt{x+1} \right)=2\left(\sqrt{x+17} -\sqrt{x+2} \right)$$ $$\Leftrightarrow$$ $$3\sqrt{x+5} +2\sqrt{x+2} =2\sqrt{x+17} +3\sqrt{x+1}$$ $$\Rightarrow$$$$9x+45+4x+8+12\sqrt{(x+5)(x+2)} =4x+68+9x+9+12\sqrt{(x+17)(x+1)}$$ $$\Leftrightarrow$$$$53+12\sqrt{x^{2} +7x+10} =77+12\sqrt{x^{2} +18x+17}$$ $$\Leftrightarrow$$$$12\sqrt{x^{2} +7x+10} =24+12\sqrt{x^{2} +18x+17}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\sqrt{x^{2} +7x+10} =2+\sqrt{x^{2} +18x+17}$$ $$\Rightarrow$$ $$x^{2} +7x+10=4+x^{2} +18x+17+4\sqrt{x^{2} +18x+17}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$4\sqrt{x^{2} +18x+17} =-11x-11$$ $$\Rightarrow$$$$16(x^{2} +18x+17)=121x^{2} +242x+121$$ $$\Leftrightarrow$$ $$16x^{2} +288x+272=121x^{2} +242x+121$$ $$\Leftrightarrow$$$$105x^{2} -46x-151=0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x=\frac{23\pm \sqrt{529+15855} }{105}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x=\frac{23\pm \sqrt{16384} }{105}$$ $$\Leftrightarrow$$$$x=\frac{23\pm 128}{105}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{array}{c} {x=-1} \\ {x=\frac{151}{105} } \end{array}\right.$$
Корень $$x_{1} =-1$$ удовлетворяет исходному уравнению, поскольку $$3\cdot 2-3\cdot 0=2\cdot 4-2\cdot 1$$ $$\Leftrightarrow $$ $$6=6$$.
Корень $$x_{2} =\frac{151}{105} $$ является посторонним, так как при $$x=\frac{151}{105} $$ правая часть уравнения $$4\sqrt{x^{2} +18x+17} =-11x-11$$ заведомо меньше нуля, тогда как левая часть неотрицательна.
Следовательно, у заданного уравнения единственный корень, равный $$-1.$$
Используем другой подход к решению уравнения.
Ограничения на значения х: $$x\ge -1.$$ $$3\left(\sqrt{x+5} -\sqrt{x+1} \right)=2\left(\sqrt{x+17} -\sqrt{x+2} \right)$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\frac{3(x+5-x-1)}{\sqrt{x+5} +\sqrt{x+1} } =\frac{2(x+17-x-2)}{\sqrt{x+17} +\sqrt{x+2} }$$ $$\Leftrightarrow $$$$\frac{12}{\sqrt{x+5} +\sqrt{x+1} } =\frac{30}{\sqrt{x+17} +\sqrt{x+2} }$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\frac{2}{\sqrt{x+5} +\sqrt{x+1} } =\frac{5}{\sqrt{x+17} +\sqrt{x+2} } $$$$\Leftrightarrow$$$$5\sqrt{x+5} +5\sqrt{x+1} =2\sqrt{x+17} +2\sqrt{x+2} (8*)$$
Перепишем уравнение (8) в виде: $$3\sqrt{x+5} -3\sqrt{x+1} =2\sqrt{x+17} -2\sqrt{x+2} $$ и сложим с уравнением (8*) почленно. Будем иметь:
$$8\sqrt{x+5} +2\sqrt{x+1} =4\sqrt{x+17} $$ $$\Leftrightarrow $$ $$4\sqrt{x+5} +\sqrt{x+1} =2\sqrt{x+17} $$ $$\Leftrightarrow $$ $$\Leftrightarrow \sqrt{x+1} =2\sqrt{x+17} -4\sqrt{x+5} $$ .
Потребуем, чтобы обе части последнего уравнения имели одинаковый знак или были равны нулю. Левая часть уравнения заведомо неотрицательна, значит, и правая часть обязана быть неотрицательной.
$$\left\{\begin{array}{c} {x\ge -1} \\ {2\sqrt{x+17} -4\sqrt{x+5} \ge 0} \end{array}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{array}{c} {x\ge -1} \\ {\sqrt{x+17} \ge 2\sqrt{x+5} } \end{array}\right.$$$$\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{array}{c} {x\ge -1} \\ {x+17\ge 4(x+5)} \end{array}\right.$$$$\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{array}{c} {x\ge -1} \\ {x+17\ge 4x+20} \end{array}\right.$$$$\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{array}{c} {x\ge -1} \\ {3x\le -3} \end{array}\right.$$$$\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{array}{c} {x\ge -1} \\ {x\le -1} \end{array}\right.$$$$\Leftrightarrow$$$$x=-1.$$
Итак, обе части уравнения $$\sqrt{x+1} =2\sqrt{x+17} -4\sqrt{x+5} $$ обращаются в нуль при единственном значении {х}, равном $$-1$$, при остальных же значениях, больших $$-1$$, знакосовпадения не будет.
Проверкой убеждаемся, что число $$-1$$ есть корень исходного уравнения.
Ответ: $$-1.$$