I. Если суммы, возвращаемые банку, равномерно уменьшаются
Задачи о банковских кредитных операциях оказались одними из самых популярных среди задач повышенного уровня сложности, предлагаемых на ЕГЭ выпускникам средних общеобразовательных школ.
Такие задачи в зависимости от схемы возвращения долга клиента бывают, как правило, двух типов:
Тип 1.
Физическое лицо (далее - клиент) берет кредит в банке на определенный срок (на столько-то месяцев, лет, иной срок). В конце каждого месяца (года, иного срока) долг клиента увеличивается на какое-то количество процентов, а затем уменьшается на сумму, вычисленную установленным порядком и возвращенную банку в указанный срок.
Суммы, возвращаемые банку в конце каждого месяца (года, иного периода времени) подбираются таким образом, чтобы в результате долг после каждого месяца (года, иного периода времени) будет уменьшаться равномерно, т.е. на одну и ту же величину.
Найти...
Такую схему выплат банку, производимых клиентом называют дифференцированной.
Тип 2.
Клиент взял кредит в банке на определенный срок (месяцев, лет, иной срок) под определенный процент годовых (месячных).
Схема выплаты кредита: по истечении 1 года (месяца) банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга, т.е. увеличивает долг на согласованное с клиентом число процентов, затем клиент переводит в банк фиксированную сумму, закрепленную договором.
Найти...
Эту схему возвращения долга называют аннуитетной.
Договоримся:
а) расчеты будем вести в тысячах или в миллионах рублей, кратко обозначая их так: «... тыс. руб., руб., млн руб.» или в «руб.» (рублей) в зависимости от условия задачи;
б) будем называть:
кредитным периодом - период, в течение которого осуществляется поэтапное возвращение банку суммы кредита;
кредитором - субъект, который предоставляет клиенту кредит.
Обсудим задачи типа 1.
Пусть сумма кредита, выданного клиенту на n месяцев под $$r\%$$ месячных составляет К у. е. Клиент переводит банку ежемесячно некоторую сумму, которая имеет две составляющие:
первая составляющая - неизменная (фиксированная) сумма (обозначим её Ф), равная $$\frac{К}{n}$$ у.е.;
вторая составляющая - выплата очередной процентной ставки банка, которая равномерно уменьшается в связи с равномерным уменьшением оставшегося долга.
Итак, происходит следующее:
К началу первого месяца кредитования долг клиента составляет $$К$$ у.е. без учета процентной надбавки (далее - основной долг), долг по процентам - $$0,01r\cdot К$$ y.e.
Сумма частичного погашения кредита в первый месяц кредитования представляет собой сумму найденных результатов, т.е. $$\frac{К}{n}+0,01rK=K\left(\frac{1}{n}+0,01r\right)$$ (у.е.).
После перевода в банк указанной суммы основной долг клиента уменьшается на $$\frac{К}{n}$$ у.е. и становится равным $$\frac{(n-1)К}{n}$$у.е. А долг по процентам - $$\frac{0,01rК\cdot (n-1)}{n}$$ у.е. И такой «процесс» будет продолжаться до полного погашения основного долга клиента.
Скажем это другими словами:
- основной долг из месяца в месяц равномерно уменьшается ровно на $$\frac{К}{n}$$у.е.
- подобное уменьшение основного долга на постоянную сумму из-за равномерного уменьшения всего долга клиента обеспечит равномерное уменьшение и долга по процентам.
Таким образом, последовательность, составленная из процентных ставок банка, есть некоторая конечная арифметическая прогрессия $$(a_n),$$ состоящая из {n } членов, первый член которой равен $$0,01rК$$, а последний, $$n-$$й член, равен $$\frac{0,01rК}{n}$$.
Знание этих двух параметров прогрессии позволяет решить почти любую задачу рассматриваемого типа без учета неизменной части очередных долгов клиента.
Далее мы так и поступим при рассмотрении задач, связанных с дифференцированной схемой начисления процентных надбавок.
Задача 1.
Сергей взял кредит в банке на срок 9 месяцев. В конце каждого месяца общая сумма оставшегося долга увеличивается на 12%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Сергеем. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга за каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину. Сколько процентов от суммы кредита составила общая сумма, уплаченная Сергеем банку (сверх кредита)?
Р е ш е н и е:
Пусть размер кредита равен K у.е. Тогда процентная ставка банка в первом месяце кредитования составит $$a_1=0,12K=\frac{3K}{25}$$у.е., в последний (девятый) месяц кредитования - $$a_9=0,12K:9=\frac{K}{75}$$ (у.е.). Cумма первых 9 членов арифметической прогрессии \[S_9=\frac{a_1+a_9}{2}\cdot 9=\left(\frac{3K}{25}+\frac{K}{75}\right):2\cdot 9=\frac{3K}{5}=0,6K.\]
Таким образом, общая сумма, уплаченная банку Сергеем, составляет $$60\%$$от суммы кредита. ($$0,6К:К\cdot 100\%=60\%)$$.
О т в е т: 60%.
Задача 2.
Иван взял кредит в банке на срок 6 месяцев. В конце каждого месяца общая сумма оставшегося долга увеличивается на 10\%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Иваном. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга за каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину. За весь срок кредитования Иван выплатил банку в общей сложности 16~875 рублей. Какую сумму он взял в кредит? \noindent
Р е ш е н и е:
Пусть К - сумма кредита.
Процентная ставка банка в первый месяц кредитования $$0,1К,$$ в последний (6-й месяц) $$\frac{0,1К}{6},$$ сумма всех переплат Ивана $$\left(0,1К+\frac{0,1К}{6}\right):2\cdot 6=\frac{0,7K}{6}\cdot 3=0,35К.$$
За весь срок кредитования Иван выплатил банку сумму, равную $$К+0,35К=1,35К$$. По условию задачи: $$1,35К=16875$$. Откуда: $$К=12500.$$
О т в е т: 12500 рублей.
Задача 3.
Антон взял кредит в банке на срок 6 месяцев. В конце каждого месяца общая сумма оставшегося долга увеличивается на одно и то же число процентов (месячную процентную ставку), а затем уменьшается на сумму, уплаченную Антоном. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга за каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину. Общая сумма выплат превысила сумму кредита на 63\%. Найдите месячную процентную ставку. \noindent
Р е ш е н и е:
Пусть К - сумма кредита, $$r-$$ месячная процентная ставка банка.
Процентная ставка банка в первый месяц кредитования $$0,01rК,$$ в последний (6-й месяц) $$\frac{0,01rК}{6}.$$
Сумма всех переплат Антона $$\left(0,01rК+\frac{0,01rК}{6}\right):2\cdot 6=\frac{0,07rK}{6}\cdot 3=0,035rК.$$ Из условия задачи следует: $$0,035rК=0,63К.$$ Значит, $$r=0,63K:0,035K=18.$$
О т в е т: 18%.
Задачи, рассмотренные выше, являются самыми простыми. Рассмотрим теперь несколько задач, предложенных на ЕГЭ в 2019-м году, которые, быть может, несколько посложнее .
Задача 4.
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 3 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на 20\% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.
Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наименьший годовой платеж составит 0,24 млн рублей?
Р е ш е н и е:
Предположим что кредит будет оформлен на $$n$$лет.
Неизменная часть выплат клиента будет равна $$\frac{3}{n}$$ млн руб. в год, размер процентной
надбавки в первый год кредитования составит $$3\cdot 0,2=0,6$$ млн руб., а в последний ($$n-$$й) год кредитования $$\frac{0,6}{n}$$ млн руб.
Так как выплата банку будет наименьшей именно в последний год кредитования, то сумма $$\frac{3}{n}+\frac{0,6}{n}$$ по условию задачи окажется равной 0,24, т.е. $$\frac{3,6}{n}=0,24$$. $$n=\frac{360}{24}\Leftrightarrow n=15.$$
В первый год кредитования банку будет возвращено $$\frac{3}{15}+0,6=0,2+0,6=0,8$$ (млн руб.) B 15-й год: 0,24 млн рублей.
Платежи клиента образует конечную арифметическую прогрессию $$(a_{15})$$, $$а_1=0,8,$$ $$a_{15}=0,24.$$ $$S_{15}=\frac{a_1+a_{15}}{2}\cdot 15=\frac{0,8+0,24}{2}\cdot 15=\left(0,4+0,12\right)\cdot 15=0,52\cdot 15=7,8.$$
О т в е т: 7,8 млн рублей.
Задача 5.
В июле планируется взять кредит в банке на срок 15 лет. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга~на~ июль предыдущего года.
Найдите r, если известно, что за весь период выплатили на 15\% больше, чем взяли в кредит.
Р е ш е н и е:
Пусть размер планируемого кредита равен К у.е.
Неизменная часть выплат клиента будет равна $$\frac{К}{15}$$ у.е. в год. Размер процентной
\noindent надбавки в первый год кредитования составит $$0,01rK$$ у.е.., в $$15-$$й год кредитования $$\frac{0,01rK}{15}$$ у.е.
Ежегодные платежи клиента по процентам образуют конечную арифметическую прогрессию, сумма первых 15 членов которой равна
$$\left(0,01rК+\frac{0,01rК}{15}\right):2\cdot 15=(16\cdot 0,01rК:30\cdot 15=0,08rК.$$ Полученный результат по условию задачи равен $$0,15rK.$$ $$0,08rK=0,015K{\Leftrightarrow }r=1,875.$$
О т в е т: $$1,875.$$
Задача 6.
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 6 млн рублей на срок 15 лет. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на {r }\% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.
Найдите {r,} если известно, что набольший платеж по кредиту составляет не более 1,9 млн рублей, а наименьший - не менее 0,5 млн. рублей.
Р е ш е н и е:
Неизменная часть ежегодных платежей $$\frac{6}{15}=0,4$$ (млн.руб.) , переменная часть: в
первый год кредитования $$6\cdot 0,01r=0,06r$$ (млн руб.), в$$15-$$й год кредитования $$\frac{0,06r}{15}=0,004r$$ (млн руб.)
Так как выплата банку будет наименьшей в последний год кредитования, наибольшей - в первый год, то имеет место цепочка равносильных систем верных неравенств: \[{\left\{ \begin{array}{c} 0,4+0,06r?1,9 \\ 0,4+0,004r?0,5 \end{array} \right.}{\Leftrightarrow }{\left\{ \begin{array}{c} 0,06r?1,5 \\ 0,004r?0,1 \end{array} \right.}\Leftrightarrow {\left\{ \begin{array}{c} r?25 \\ r?25 \end{array} \right.}{\Leftrightarrow }r=25.\]
О т в е т: 25
Задача 7.
15-го января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на15-е число предыдущего месяца.
Какую сумму следует взять в кредит, чтобы общая сумма выплат после его полного погашения равнялась 1 млн рублей? (Cчитайте, что округления при вычислении платежа не производится).
Р е ш е н и е:
Пусть сумма планируемого кредита равна$$К$$ рублей. Неизменная часть ежегодных платежей составляет $$\frac{К}{24}$$млн. руб. Переменная часть:
в первый год кредитования $$0,02r$$ млн руб.,
в$$15-$$й год кредитования $$\frac{0,02r}{24}=\frac{0,01}{12}$$ (млн руб.)
Все платежи клиента по процентным ставкам банка образуют конечную арифметиче-скую прогрессию $$(а_{24})$$, у которой $$a_1=0,02К$$, $$a_{24}=\frac{0,01К}{12}$$.
Наша задача: найти сумму всех 24 членов этой прогрессии. \[S_{24}=\frac{0,02К+\frac{0,01К}{12}}{2}\cdot 24=\frac{0,24К+0,01К}{2\cdot 12}\cdot 24=0,25К.\]
Сумма выплат клиента банку в целом составит $$К+0,25К=1,25К$$ (млн. руб.) По условию задачи: $$1,25SК=1{\Leftrightarrow }К=0,8.$$ Итак, $$К=0,8$$млн. руб. = 800~000 руб.
О т в е т: 800~000 рублей.
Теперь рассмотрим задачи, которые предлагались на ЕГЭ выпускникам 2018-го года и показались им несколько неудобными.
Задача 8.
15-го апреля планируется взять в банке кредит на сумму 1 200 тысяч рублей на $$(n+1)$$ месяц.
\noindent Условия его возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на {r} \% по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
-15-го числа каждого с 1-го по {n}-й месяц долг должен быть на 80 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
-15-го числа {n}-го месяца долг составит 400 тысяч рублей;
- к 15-му числу $$(n+1)$$ месяца долг должен быть погашен полностью. Найдите $$r$$, если банку всего было выплачено 1 288 тысяч рублей.
Р е ш е н и е:
За период, измеряемый ({n+1}) месяцами, клиент переплатит банку $$1288-1200=88$$ (тыс. руб.) Значит,
Из условия задачи следует: $$n=(1200-400):80=10.$$
Долг на 15-е число 10-го месяца фактически совпадает с долгом на начало $$11-$$го месяца.
Процентные ставки банка в течение первых {n} месяцев кредитования образуют убывающую арифметическую прогрессию $$(a_n)$$, где $$a_1=1200\cdot 0,01r=12r,$$ разность $$d=-80\cdot 0,01r=-0,8r,$$$$a_{11}=а_1+10d=12r-8r=4r$$. Вся сумма переплат клиента составит: $$S_{11}=\frac{a_1+a_{11}}{2}\cdot 11=\frac{12r+4r}{2}\cdot 11=88r.$$ Но эта сумма, как было получено выше, равна 88. Значит, $$r=1.$$
\noindent О т в е т: 1.
Задача 9.
15-го января планируется взять в банке кредит на сумму 300 тысяч рублей на 21 месяц.
\noindent Условия его возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на 2 \% по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
-15-го числа каждого с 1-го по 20-й месяц долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
-15-го числа 20-го месяца долг составит 100 тысяч рублей;
- к 15-му числу 21 месяца долг должен быть погашен полностью.
Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.
Р е ш е н и е:
Из условия задачи ясно, что 15-го числа каждого с 1-го по 20-й месяц долг должен
\noindent быть на 10 тыс. руб. меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. $$(300-100):20=10$$ (тыс. руб.)
Долг на 15-е число 20-го месяца фактически совпадает с долгом на начало $$21-$$го месяца.
В первый месяц процентная надбавка банка составит $$300\cdot 0,02=6$$ (тыс. руб.), в 21-й месяц $$100\cdot 0,02=2$$ (тыс. руб.)
Процентные ставки банка образуют убывающую арифметическую прогрессию $$(a_n)$$, где $$a_1=300\cdot 0,02=6,а_{21}=100\cdot 0,02=2.$$
Сумма ежемесячных переплат за весь период кредитования оставит \[S_{21}=\frac{a_1+a_{21}}{2}\cdot 21=\frac{6+2}{2}\cdot 21=84.\]
Общая сумма платежей клиента за весь период кредитования составит: $$300+84=384$$ (тыс. руб.)
О т в е т: 384~000 рублей.
Задача 10.
15-го января планируется взять в банке кредит на 700 тысяч рублей на ({n}+1) месяц. Условия его возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на 1\% по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить одним платежом часть долга;
- 15-го числа каждого с 1-го по {n}-й месяц долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
- за ({n}+1)-й месяц долг должен быть погашен полностью.
Найдите {n}, если банку всего было выплачено 755 тысяч рублей, а долг на 15-е число
\noindent {n} -го месяца составлял 300 тысяч рублей.
Р е ш е н и е:
Обратим внимание на то, что данная задача несколько отличается от задач, которые рассмотрены выше. Дело в том, что в последний $$(n+1)$$ - й месяц кредитования клиент будет вносить в банк большую сумму, нежели в в предыдущие месяцы кредитования.
Следовательно, в данном случае и процентная ставка банка не будет равна $$\frac{7}{n+1}$$ тыс. руб.
Переплата клиента за весь период кредитования составит $$755-700=55$$ (тыс. руб).
Процентная ставка за первый месяц кредитования равна $$700\cdot 0,01=7$$ (тыс. руб.), а за ({n}+1)-й месяц $$300\cdot 0,01=3$$ (тыс. руб.)
Так как процентные ставки банка за каждый кредитный месяц прямо пропорцио-нально зависят от соответствующего долга клиента, то эти ставки образуют убывающую конечную арифметическую прогрессию $$(a_{n+1})$$, где $$a_1=7$$, $$а_{n+1}=3$$. Сумма членов этой прогрессии равна $$ $$$$S_{n+1}=\frac{a_1+a_{n+1}}{2}\cdot (n+1)=\frac{7+3}{2}\cdot (n+1)=5(n+1).$$ Это и есть сумма всех переплат клиента. Следовательно, $$5n+5=55$$ $$\Leftrightarrow $$ $$5n=50$$ $$\Leftrightarrow $$ $$n=10.$$
О т в е т: 10.
Задача 11.
15 января планируется взять кредит в банке на некоторую сумму на 21 месяц. Условия его возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на 1\% по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить одним платежом часть долга;
- на 15-е число каждого с 1-го по 20-й месяц долг должен уменьшаться на 40 тыс. руб.
- за двадцать первый месяц долг должен быть погашен полностью.
Сколько тысяч рублей составляет долг на 15-е число 20-го месяца, если банку всего было выплачено 1852 тыс. рублей?
Р е ш е н и е:
Пусть размер кредита составляет {К} тыс. руб. В контексте данной задачи процентные
\noindent ставки банка будут уменьшаться по правилам арифметической прогрессии $$(а_n),$$ где
$$а_1=0,01К,n=21,$$разность $$d=-0,01\cdot 40=-0,4,$$
Процентная ставка банка за 21-й кредитный месяц равна $$a_{21}=a_1+20d=0,01K-8.$$ А сумма процентных ставок, выплаченная банку сверх кредита, будет равна
$$S_{21}=\frac{a_1+a_{21}}{2}\cdot 21=\frac{0,01K+0,01K-8}{2}\cdot 21=(0,01K-4)\cdot 21=0,21K-84$$ (тыс. руб.)
Вся сумма, выплаченная банку, равна $$1,21K-84,$$ что в свою очередь равно 1852.
\noindent Таким образом, $$1,21K-84=1852$$ $$\Leftrightarrow $$ $$К=\frac{1852+84}{1,21}$$ $$\Leftrightarrow $$ $$К=1600.$$
Долг на 15-е число 20-го месяца фактически совпадает с долгом клиента на начало 21-го кредитного месяца. (тыс. руб.)
Рассмотрим новую последовательность - последовательность долгов клиента перед каждым кредитным месяцем, которая является также арифметической прогрессией. Первый член ее равен 1600, разность равна 40. Нам надо найти ее 21-й член, который как было сказано выше, равен долгу на 15-е число 20-го месяца. Искомый долг равен
$$1600+20\cdot (-40)=1600-800=800$$ (тыс. руб.)
\noindent О т в е т: 800.