Вопрос 10. Как решить такие системы неравенств?

Радиф Галиевич! Как решить такие системы неравенств:

$$\left\{\begin{array}{c} {x^{2} -8y+31=0} \\ {y^{2} -2x-14=0} \end{array}\right. $$ и $$\left\{\begin{array}{c} {x^{2} +6y+14=0} \\ {y^{2} +4x-1=0} \end{array}\right. $$?

Вадим Рогов, ученик 10 класса, г. Москва.

Прежде чем начать решение этих систем, вспомню такой случай: несколько лет назад пришлось с учеником 11-го класса разбираться в способе получения формулы корней квадратного уравнения, известного из учебника 9-го класса, которая выглядит так: $$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2} -4ac} }{2a} .$$ Однако тот ученик не стал вникать в суть метода, который применялся при получении формулы. Тогда я показал ему материал из учебника, который приводится при получения формулы корней полного квадратного уравнения. И сказал, что каждому, кто хочет почувствовать красоту математики, наряду с другими красивыми преобразованиями разных выражений, надо бы знать и этот метод, который называют методом «выделения полного квадрата».

А он все же возразил:

Зачем это мне знать? Ведь здесь в учебнике все это расписано. Мне достаточно знать конечный результат, то есть формулу.

И вот сегодня не зря, наверное, я вспомнил наш диалог с учеником. Дело ведь в том, что именно этот прием - прием выделения полного квадрата, удачно применятся при решении обеих систем, которые привел Вадим Рогов.

Рассмотрим более детально первую систему.

Прежде обратимся к методу алгебраического сложения обоих уравнений и получим: $$x^{2} -8y+31+y^{2} -2x-14=0$$. В левой части уравнения сделаем перегруппировку слагаемых так, чтобы получить квадраты разностей $$(x-1)$$ и $$(y-4)$$. То есть заметим, что$$x^{2} -8y+31+y^{2} -2x-14=(x^{2} -2x+1)+(y^{2} -8y+16)-1-16+31-14.$$

Но тогда имеем: $$(x-1)^{2} +(y-4)^{2} =0$$. Таким образом, мы получили, что сумма квадратов двух выражений (а именно $$x-1$$ и $$y-4$$) равна нулю. А это возможно лишь при одном условии, что каждое из этих выражений равно нулю, т.е. $$x=1$$ и $$y=4.$$

Итак, решение исходной системы представляется парой (1;4).

Совершенно аналогичный подход к решению второй системы: $$\left\{\begin{array}{c} {x^{2} +6y+14=0} \\ {y^{2} +4x-1=0} \end{array}\right. $$. $$(x^{2} +4x+4)+(y^{2} +6y+9)-13+13=0$$ $$\Leftrightarrow $$ $$(x+2)^{2} +(y+3)^{2} =0$$ $$\Leftrightarrow $$ $$\left\{\begin{array}{c} {x=-2} \\ {y=-3} \end{array}\right. .$$

О т в е т : $$(-2;-3).$$

На вопрос ответил Радиф Галиевич Гилемханов.