Перейти к основному содержанию

Вопрос 9. Пример отбора корней в нетригонометрическом уравнении задания №13 ЕГЭ профильного уровня.

Был звонок из Оренбурга. Звонила девочка, 11-классница. Представилась Мариной. Пояснила: между ею и репетитором возник спор относительно отбора решений при рассмотрении подзадачи б). Оказывается, ученица выполнила проверку принадлежности полученных двух корней указанному отрезку с использованием двойных неравенств.В частности, репетитор (по словам ученицы) утверждает, что Марина при решении использовала то, что следует доказать как заданное, тем самым "организовала" замкнутый круг, т.е. допустила логический провал. При всем том ученица не совсем уверенна в своей правоте, коли репетитор считает, что ее решение в корне неверным. Потому просит помощи разобраться и привести аналогичное решение, если только Марина была права. Просила провести решение подзадачи б) путем подстановки в двойное неравенство.

а) Решите уравнение $$4^{x+1} -7\cdot 2^{x+2} +45=0$$;
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$\left[\frac{4}{3} ;\frac{7}{3} \right].$$

Решение:

а) $$4^{x+1} -7\cdot 2^{x+2} +45=0$$ $$\Leftrightarrow $$ $$4\cdot 2^{2x} -28\cdot 2^{x} +45=0$$ $$\Leftrightarrow $$ $$\left[\begin{array}{c} {2^{x} =\frac{14-\sqrt{196-180} }{4} } \\ {2^{x} =\frac{14+\sqrt{16} }{4} } \end{array}\right. $$ $$\Leftrightarrow $$ $$\Leftrightarrow $$$$\left[\begin{array}{c} {2^{x} =\frac{5}{2} } \\ {2^{x} =\frac{9}{2} } \end{array}\right. $$ $$\Leftrightarrow $$ $$\left[\begin{array}{c} {2^{x} =2^{\log _{2} \frac{5}{2} } } \\ {2^{x} =2^{\log _{2} \frac{9}{2} } } \end{array}\right. $$ $$\Leftrightarrow $$ $$\left[\begin{array}{c} {x=\log _{2} 5-1(1)} \\ {x=\log _{2} 9-1(2)} \end{array}\right.$$ 

б) Отбор корней. Докажем, что корень уравнения (1) не принадлежит заданному отрезку. Для этого достаточно доказать неравенство $$\log _{2} 5-1<\frac{4}{3} .$$ Действительно, $$\log _{2} 5-1<\frac{4}{3} $$ $$\Leftrightarrow $$ $$\log _{2} 5<\frac{4}{3} +1$$ $$\Leftrightarrow $$ $$\log _{2} 5<\frac{7}{3} $$ $$\Leftrightarrow $$ $$3\log _{2} 5<7$$ $$\Leftrightarrow $$ $$\Leftrightarrow $$$$\log _{2} 125<\log _{2} 128$$ $$\Leftrightarrow $$ $$125<128$$ (получили верное числовое неравенство), значит, неравенство $$\log _{2} 5-1<\frac{4}{3} $$ верно. Теперь докажем истинность неравенства $$\frac{4}{3} \le \log _{2} 9-1\le \frac{7}{3} $$. Преобразуем его. $$\frac{4}{3} \le \log _{2} 9-1\le \frac{7}{3} $$ $$\Leftrightarrow $$ $$\frac{4}{3} +1\le \log _{2} 9\le \frac{7}{3} +1$$ $$\Leftrightarrow $$ $$\frac{7}{3} \le \log _{2} 9\le \frac{10}{3} $$ $$\Leftrightarrow $$ $$7\le 3\log _{2} 9\le 10$$$$\Leftrightarrow $$$$7\le \log _{2} 729\le 10$$ $$\Leftrightarrow $$ $$\log _{2} 128\le \log _{2} 729\le \log _{2} 1024$$ $$\Leftrightarrow $$ $$128\le 729\le 1024$$ (нами получено верное числовое неравенство, равносильное тому, что требовалось доказать). Значит, $$(\log _{2} 9-1)\in \left[\frac{4}{3} ;\frac{7}{3} \right].$$

Ответ: а) $$\log _{2} 5-1;$$ $$\log _{2} 9-1.$$ б) $$\log _{2} 9-1.$$