ОГЭ математика 2019. Разбор варианта Алекса Ларина № 207.
Решаем ОГЭ 207 вариант Ларина. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20 заданий тренировочного варианта ОГЭ Ларина № 207 (alexlarin.com)
Решаем ОГЭ 207 вариант Ларина. Подробное решение 21,22,23,24,25,26 заданий тренировочного варианта ОГЭ Ларина № 207 (alexlarin.com)
Задание 1
Студент Петров выезжает из Наро-Фоминска в Москву на занятия в университет. Занятия начинаются в 9:00. В таблице приведено расписание утренних электропоездов от станции Нара до Киевского вокзала в Москве.
| Отправление от ст. Нара | Прибытие на Киевский вокзал |
| 06:37 | 07:59 |
| 07:02 | 08:06 |
| 07:16 | 08:30 |
| 07:31 | 08:52 |
Путь от вокзала до университета занимает 40 минут. Укажите время отправления от станции Нара самого позднего из электропоездов, которые подходят студенту.
Необходимо приехать не позднее , чем 8: 20. Проходит 1 и 2 поезда. Из них самый поздний под номером 2.
Задание 2
На координатной прямой отмечены числа a, b и c. Какое из следующих утверждений об этих числах верно?
- $$b^{2}>c^{2}$$
- $$\frac{c}{a}>0$$
- $$a+b<c$$
- $$\frac{1}{b}<-1$$
Видим , что $$a<0<b<c$$ и $$\left | b \right |<\left | a \right |<\left | c \right |$$
Пусть a=-2; b=1; c=3. Тогда:
- $$b^{2}> c^{2} \Leftrightarrow 1^{2}>3^{2}$$ - неверно
- $$\frac{c}{a}>0 \Leftrightarrow \frac{3}{-2}>0$$ - неверно
- $$a+b<c \Leftrightarrow -2+1<3$$ - верно
- $$\frac{1}{b}<-1\Leftrightarrow \frac{1}{1}<-1$$ - неверно
Задание 3
Найдите значение выражения $$\sqrt{5\cdot 45}\sqrt{80}$$ Варианты ответа:
- $$60\sqrt{6}$$
- $$80\sqrt{3}$$
- $$60\sqrt{5}$$
- $$80\sqrt{2}$$
$$\sqrt{5*45}*\sqrt{80}=$$$$\sqrt{5*9*5*16*5}=$$$$\sqrt{3^{2}*4^{2}*5^{3}}=$$$$60\sqrt{5}$$, что соответствует 3 варианту ответа.
Задание 4
На рисунке изображен график движения автомобиля из пункта A в пункт B и автобуса из пункта B в пункт A. На сколько километров в час скорость автомобиля больше скорости автобуса?
Пройдено расстояние S=240 км.
Автомобиль затратил 3 часа, тогда его скорость: $$v_{1}=\frac{240}{3}=80$$ км\ч .
Автобус 5 часов , тогда его скорость: $$v_{2}=\frac{240}{5}=48$$ км\ч .
Разница скоростей: 80-48=32 км\ч
Задание 5
Решите уравнение $$\frac{x-20}{5}=\frac{x+4}{2}$$
$$\frac{x-20}{5}=\frac{x+4}{2}\Leftrightarrow$$ $$2x-40=5x+20\Leftrightarrow$$ $$2x-5x=20+40\Leftrightarrow$$ $$-3x=60\Leftrightarrow$$ $$x=\frac{60}{-3}=-20$$
Задание 6
Число хвойных деревьев в парке относится к числу лиственных как 8 : 17. Сколько процентов деревьев в парке составляют хвойные?
Пусть число хвойных - 8x, тогда лиственных - 17x. Всего деревьев 8x+17x=25x. Тогда процент хвойных : $$\frac{8x}{25x}*100=32$$%
Задание 8
В магазине канцтоваров продается 118 ручек, из них 32 - красные, 39 - зеленые, 7 - фиолетовых, еще есть синие и черные, их поровну. Найдите вероятность того, что при случайном выборе одной ручки будет выбрана зеленая или черная ручка.
Синих и черных по $$\frac{118-(32+39+7)}{2}=20$$ штук. Тогда вероятность выбрать зеленую или черную : $$P=\frac{39+20}{118}=0,5$$
Задание 9
На рисунке изображены графики функций вида y=kx+b. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов k и b.
- k<0, b<0
- k<0, b>0
- k>0, b>0
- k>0, b<0
При k>0 - прямая расположена в 1 и 3 координатных четвертях, k<0 - 2 и 3 . При b>0 - прямая пересекает Oy над Ox, b<0 под Ox, тогда:
Задание 10
Дана арифметическая прогрессия (an), для которой a7 = - 5, a18 =- 500 Найдите разность прогрессии.
Воспользуемся формулой нахождения разности арифметической прогрессии через n и m члены: $$d=\frac{a_{m}-a_{n}}{m-n}$ Тогда: $$d=\frac{-500-(-5)}{18-7}=-45$$
Задание 11
Найдите значение выражения $$\frac{a}{a^{2}-b^{2}}:\frac{a}{ab-b^{2}}$$, при a=-1,7, b=-0,8
$$\frac{a}{a^{2}-b^{2}}:\frac{a}{ab-b^{2}}=$$$$\frac{a}{(a-b)(a+b)}*\frac{b(a-b)}{a}=$$$$\frac{b}{a+b}=\frac{-0,8}{1,7-0,8}=-\frac{8}{9}$$
Задание 12
Закон Менделеева–Клапейрона можно записать в виде PV=νRT, где P — давление (в паскалях), V — объём (в м3 ), ν — количество вещества (в молях), T — температура (в градусах Кельвина), а R — универсальная газовая постоянная, равная 8,31 Дж/(К моль). Пользуясь этой формулой, найдите количество вещества ν (в молях), если T=700 К, P=20941,2 Па, V=9,5 м3 .
Выразим количество вещества из формулы: $$v=\frac{PV}{RT}$$. Найдем значение: $$v=\frac{20941,2*9,5}{8,31*700}=$$$$\frac{209412*95}{832*700}=34,2$$
Задание 13
Укажите неравенство, которое не имеет решений
- $$x^{2}-6x-16>0$$
- $$x^{2}-6x+16<0$$
- $$x^{2}-6x+16>0$$
- $$x^{2}-6x-16<0$$
Во всех случаях ветви направлены вверх $$\Rightarrow$$ не будет иметь решений то : у которого D<0 и выражение тоже <0 : $$x^{2}-6x+16<0$$, что соответствует 3 варианту ответа.
Задание 14
Лестницу длиной 2 м прислонили к дереву. На какой высоте (в метрах) находится верхний её конец, если нижний конец отстоит от ствола дерева на 1,2 м?
По теореме Пифагора из $$\Delta ABC$$: $$BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=$$$$\sqrt{2^{2}-1,2^{2}}=1,6$$
Задание 15
В треугольнике АВС углы А и С равны 70° и 50° соответственно. Найдите угол между высотой ВН и биссектрисой BD.
- из $$\Delta ABC$$: $$\angle B=180-(\angle A+\angle C)=60\Rightarrow$$ $$\angle HBC=\frac{\angle B}{2}=30$$
- $$\angle DBC=90-\angle C=40$$
- $$\angle DBH=\angle DBC-\angle HBC=10$$
Задание 16
Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 12 и 13.
По теореме Пифагора другой катет: $$\sqrt{13^{2}-12^{2}}=5$$, тогда площадь $$S=\frac{1}{2}*12*5=30$$
Задание 17
На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что ∠AOB=27°. Длина меньшей дуги AB равна 18. Найдите длину большей дуги.
$$\angle AOB$$ меньший относится к $$\angle AOB$$ большему (360-27=333) так же , как и дуги $$\Rightarrow$$ $$\frac{27}{333}=\frac{18}{x}\Rightarrow$$ $$x=\frac{333*18}{27}=222$$
Задание 18
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=8, tg A=0,75. Найдите BC.
$$tg A=\frac{CB}{AC}\Rightarrow$$ $$CB=AC*tgA=0,75*8=6$$
Задание 19
Какие из следующих утверждений верны?
- Если в параллелограмме две соседние стороны равны, то такой параллелограмм является ромбом.
- Диагонали любого параллелограмма равны.
- Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов. В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов
1)верно 2)нет, только прямоугольника и квадрата 3)верно
Задание 20
Решите уравнение $$(x+2)^{4}+(x+4)^{4}=82$$
$$(x+2)^{4}+(x+4)^{4}=82\Leftrightarrow$$ $$(x+2)^{4}+(x+4)^{4}=1^{4}+3^{4}\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\left[\begin{matrix}\left | x+2 \right |=1\\\left | x+4 \right |=3\end{matrix}\right. (1)\\\left[\begin{matrix}\left | x+2 \right |=3\\\left | x+4 \right |=1\end{matrix}\right. (2)\end{matrix}\right.$$
1) $$\left\{\begin{matrix}\left[\begin{matrix}x+2=1\\x+2=-1\end{matrix}\right.\\\left[\begin{matrix}x+4=3\\x+4=-3\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\left[\begin{matrix}x=-1\\x=-3\end{matrix}\right.\\\left[\begin{matrix}x=-1\\x=-7\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=-1$$
2) $$\left\{\begin{matrix}\left[\begin{matrix}x+2=3\\x+2=-3\end{matrix}\right.\\\left[\begin{matrix}x+4=1\\x+4=-1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x=1\\x=-5 \end{matrix}\right.\\\left[\begin{matrix}x=-3\\x=-5 \end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=-5$$
Задание 21
Два бегуна стартовали один за другим с интервалом в 2 мин. Второй бегун догнал первого на расстоянии 1 км от точки старта, а пробежав еще 4 км, он повернул обратно и встретился снова с первым бегуном через 20 мин после старта первого бегуна. Найдите скорость второго бегуна.
Пусть x км\ч –скорость первого, у км\ч –второго. Первый пробегает 1 км за $$\frac{1}{x}$$ часов, второй $$\frac{1}{y}$$ ч. Тогда $$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{2}{60}$$
Далее первый был в пути 20 минут и пробежал $$\frac{20}{60} x=\frac{1}{3}x$$, второй - 18 минут, то есть $$\frac{18}{60}y=\frac{3y}{10}$$ км. Если взять за S км . расстояние , которое пробежал второй в обратную , то получим , что первый пробежал 5-S , второй 5+S $$\Rightarrow$$ в сумме 10км. Тогда :
$$\left\{\begin{matrix}\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{30}\\\frac{1}{3}x+\frac{3y}{10}=10\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{30}\\10x+9y=300\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{30}\\x=\frac{300-9y}{10}\end{matrix}\right.$$
$$\frac{10}{300-9y}-\frac{1}{y}=\frac{1}{30}\Leftrightarrow$$ $$\frac{10y-300+9y}{300y-9y^{2}}=\frac{1}{30}\Leftrightarrow$$ $$\frac{19y-300}{100y-3y^{2}}=\frac{1}{10}\Leftrightarrow$$ $$190y-3000=100y-3y^{2} \Leftrightarrow$$$$3y^{2}+90y-3000=0\Leftrightarrow$$ $$y^{2}+30y-1000=0\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}y_{1}+y_{2}=-30\\y_{1}*y_{2}=-1000\end{matrix}\right.$$$$\left[\begin{matrix}y_{1}=-50<0\\y_{2}=20\end{matrix}\right.$$
Задание 22
Постройте график функции $$\left\{\begin{matrix}-x^{2}, |x|\leq 2\\ \frac{8}{x},|x|>1\end{matrix}\right.$$ и определите, при каких значениях а прямая y=а будет иметь с графиком ровно одну общую точку
Построим график функции $$y=-x^{2}$$ и оставим часть при $$\left | x \right |\leq 2(x \in [-2 ;2])$$.
Построим $$y=\frac{8}{x}$$ при $$x \in (-\infty ;-2)\cup (2; +\infty )$$
1 общая точка при $$a \in [0 ; 4)$$
Задание 23
Перпендикуляр, опущенный из вершины параллелограмма на его диагональ, делит ее на отрезки длиной 6 и 15 см. Найти длины сторон параллелограмма, если одна из них на 7 см больше другой
1) Пусть $$BH \perp AC$$ и AH=6 , тогда HC=15/ Пусть AB=x, тогда BC=x+7
2) из $$\Delta ABH$$: $$BH^{2}=AB^{2}-AH^{2}=x^{2}-36$$
3) из $$\Delta BHC$$: $$BH^{2}+HC^{2}=BC^{2}\Leftrightarrow$$ $$x^{2}-36+225=(x+7)^{2}\Leftrightarrow$$ $$x=10=AB\Rightarrow$$ $$BC=17$$
Задание 24
Дан треугольник $$ABC$$, на стороне $$AC$$ взята точка $$E$$ так, что $$AE:EC=2:3$$ , а на стороне $$AB$$ взята точка $$D$$ так, что $$AD:DB=1:4$$ . Проведены отрезки $$CD$$ и $$BE$$. Найдите отношение площади получившегося четырехугольника к площади данного треугольника.
1) $$BE\cap CD=H$$ ; Пусть $$AE=2x$$ ; $$AD=y \Rightarrow$$ $$DB=4y; EC=3x$$
2) Построим $$DK\left | \right |BE (K=DK\cap AC)\Rightarrow$$ по т Фалеса : $$\frac{AD}{DB}=\frac{AK}{KE}\Rightarrow$$ $$AK=0,4 x; KE=1,6 x$$.
3) Пусть $$S_{ABC}=S$$; $$S_{ADC}=\frac{AD}{AB}S=\frac{S}{5}$$; $$S_{ADK}=\frac{AK}{AC}S_{ADC}=$$$$\frac{2}{25}*\frac{S}{5}=\frac{2S}{125};$$
4) $$HE\left | \right | DK \Rightarrow$$ $$\Delta CHE\sim \Delta CDK$$; $$\frac{S_{CHE}}{S_{CDK}}=(\frac{CE}{CK})^{2}=$$$$(\frac{15}{23})^{2}=\frac{225}{529}\Rightarrow$$ $$S_{DHEK}=\frac{529-225}{529}*S_{CDK}$$; $$S_{CDK}=S_{ADC}-S_{ADK}=\frac{23S}{125}$$; $$S_{DHEK}=\frac{304}{529}*\frac{23S}{125}=\frac{304 S}{23*125}$$; $$S_{ADHE}=\frac{2S}{125}+\frac{304 S}{23*125}=\frac{350 S}{23*125}=\frac{14 S}{115}\Rightarrow$$ $$\frac{S_{ADHE}}{S_{ABC}}=\frac{14}{115}$$