ЕГЭ 2022. Вариант 20 Ященко 36 вариантов ФИПИ школе.

$$(x-11)^4=(x+3)^4$$

$$((x-11)^2)^2=((x+3)^2)^2$$

Извлекаем квадратный корень от обеих частей уравнения:

$$(x-11)^2=(x+3)^2$$

$$x^2-22x+121=x^2+6x+9$$

$$x^2-22x-x^2-6x=9-121$$

$$-28x=-112$$

$$x=\frac{-112}{-28}=4$$

На первом месте может оказаться любой спортсмен из $$n=5+4+9+7=25$$ спортсменов, участвующих в соревнованиях. При этом число спортсменов из Индии равно $$m=7.$$ Следовательно, вероятность того, что спортсмен, который выступает первым, окажется из Индии, равна:

$$P=\frac{m}{n}=\frac{7}{25}=0,28$$

Пусть вся площадь треугольника ABC равна $$x.$$ Тогда площадь малого треугольника CDE равна $$\frac{x}{4}$$ (так как все его линейные размеры в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC). Можно записать равенство:

$$x=\frac{x}{4}+48$$

$$\frac{3}{4}x=48$$

$$x=48\cdot\frac{4}{3}=64$$

$$\frac{(\sqrt{20}+\sqrt{12})^2}{4+\sqrt{15}}=\frac{(\sqrt{20})^2+2\sqrt{20}\cdot\sqrt{12}+(\sqrt{12})^2}{4+\sqrt{15}}=$$

$$=\frac{20+2\sqrt{240}+12}{4+\sqrt{15}}=\frac{32+2\sqrt{16\cdot15}}{4+\sqrt{15}}=\frac{32+8\sqrt{15}}{4+\sqrt{15}}=\frac{8(4+\sqrt{15}}{4+\sqrt{15}}=8$$

Объем жидкости остается неизменным. Пусть изначально она равна

$$V=h\cdot\pi R^2$$

где h=25 см – высота; R – радиус основания первого сосуда. По условию задания диаметр второго сосуда в 2,5 больше первого, значит,

$$R_2=2,5\cdot\frac{D}{2}=2,5R$$

Выразим тот же объем V через высоту $$h_2$$ и радиус $$R_2:$$

$$V=h_2\cdot\pi R^2_2=h_2\cdot\pi\cdot6,25R^2$$

Приравниваем эти величины и находим $$h_2:$$

$$h_2\cdot\pi\cdot6,25R^2=h\cdot\pi R^2$$

$$h_2=\frac{h}{6,25}=\frac{25}{6,25}=4$$

Скорость - это производная от расстояния:

$$v(t)=x'(t)=\frac{3}{2}t^2=4t+6$$

Находим скорость в момент времени $$t=4$$ с:

$$v(4)=\frac{3}{2}\cdot4^2-4\cdot4+6=3\cdot8-16+6=14$$

$$A=\alpha vT\log_2\frac{p_2}{p_1}$$

$$16200=13,5\cdot2\cdot300\cdot\log_2\frac{p_2}{2,4}$$

$$16200=8100\cdot\log_2\frac{p_2}{2,4}$$

$$\log_2\frac{p_2}{2,4}=\frac{16200}{8100}$$

$$\log_2\frac{p_2}{2,4}=2$$

$$2^2=\frac{p_2}{2,4}$$

$$4=\frac{p_2}{2,4}$$

$$p_2=4\cdot2,4=9,6$$

Пусть x литров воды в минуту пропускает вторая труба. Соответственно, первая труба будет пропускать $$x-2$$ литров воды в минуту. Резервуар объемом 396 литров вторая труба будет заполнять $$\frac{396}{x}$$ минут, а резервуар объемом 440 литра первая труба заполняет $$\frac{440}{x-2}$$ минут. Так как первая заполняет резервуар объёмом 440 литров на 4 минуты медленнее, чем вторая, получаем уравнение:

$$\frac{440}{x-2}-\frac{396}{x}=4$$

откуда

$$440x-396\cdot(x-2)=4\cdot(x^2-2x)$$

$$110x-99x+198-x^2+2x=0$$

$$x^2-13-198=0$$

$$D=169+792=961=31^2$$

$$x_1=\frac{13+31}{2}=22$$

$$x_2=\frac{13-31}{2}<0$$

Получаем пропускную способность второй трубы 22 литра в минуту.

Абсцисса вершины для $$f(x): x_0=-\frac{(-2)}{(-2)\cdot2}=-\frac{1}{2}$$

Это правая парабола. 

$$g(x)\cap Oy$$ в точке $$(0;1),$$ значит $$c=1.$$

Точки $$A(-2;5)$$ и $$C(-4;1)$$ принадлежат $$g(x).$$ Тогда:

$$\left\{\begin{matrix} 5=a\cdot(-2)^2+b\cdot(-2)+1\\ 1=a\cdot(-4)^2+b\cdot(-4)+1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} 4=4a-2b\\ 0=16a-4b \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} 2=2a-b\\ 4a=b \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} 2=2a-4a\\ b=4a \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} a=-1\\ b=-4 \end{matrix}\right.$$

Получили $$g(x)=-x^2-4x+1$$

Тогда:

$$-2x^2-2x+4=-x^2-4x+1$$

$$x^2-2x-3=0$$

$$\left[\begin{matrix} x_1=3\\ x_2=-1 \end{matrix}\right.$$

Посадим первую девочку за стол. Таким образом у нас останется 1 девочка и 5 стульев. Сесть она может только на два стула - по обе стороны от уже сидящей девочки. Отсюда вероятность того, что девочки сядут рядом: $$\frac{2}{5}=0,4$$ следовательно вероятность того, что они не будут сидеть рядом равна $$1-0,4=0,6$$

$$y=(x+8)^2\cdot е^{-x-3}$$

Найдём производную функции:

$$y'=((x+8)^2)'\cdot е^{-x-3}+(x+8)^2\cdot(e^{-x-3})'=2(x+8)\cdot e^{-x-3}+(x+8)^2\cdot(-e^{-x-3})=$$ $$=e^{-x-3}\cdot(2(x+8)-(x+8)^2)=e^{-x-3}\cdot(-x^2-14x-48)$$ 

Найдём нули производной:

$$e^{-x-3}\cdot(-x^2-14x-48)=0$$

$$e^{-x-3}>0$$ всегда

$$-x^2-14x-48=0$$

$$x^2+14+48=0$$

Через дискриминант находим корни уравнения:

$$x_1=-8$$

$$x_2=-6$$

Определим знаки производной функции и изобразим поведение функции:

Точка минимума: $$x=-8.$$

а)

$$\cos 2x\sin 2x\sin\frac{2\pi}{3}=\frac{1}{4}\cos(8x-\frac{3\pi}{2}$$

$$\frac{1}{2}\cdot(2\sin 2x\cos 2x)\sin(\pi-\frac{\pi}{3})=\frac{1}{4}\cos(\frac{3\pi}{2}-8x)$$

$$\frac{1}{2}\sin 4x\sin\frac{\pi}{3}=\frac{1}{4}\cdot(-\sin 8x)$$

$$\frac{1}{2}\sin 4x\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{1}{4}\sin(2\cdot 4x)$$

$$\sqrt{3}\sin 4x+2\sin 4x\cos 4x=0$$

$$\sin 4x(\sqrt{3}+2\cos 4x)=0$$

$$\sin 4x=0$$

$$4x=\pi k, k\in Z$$

$$x=\frac{\pi k}{4}, k\in Z$$

$$\sqrt{3}+2\cos 4x=0$$

$$\cos 4x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$4x=\pm\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2})+2\pi n, n\in Z$$

$$4x=\pm(\pi-\arccos\frac{\sqrt{3}}{2})+2\pi n, n\in Z$$

$$4x=\pm(\pi-\frac{\pi}{6})+2\pi n, n\in Z$$

$$4x=\pm\frac{5}{6}+2\pi n, n\in Z$$

$$x=\pm\frac{5}{24}+\frac{\pi n}{2}, n\in Z$$

б)

С помощью двойного неравенства отберём корни на отрезке $$[\frac{8\pi}{3};\frac{10\pi}{3}]$$

1) $$\frac{8\pi}{3}\leq\frac{\pi k}{4}\leq\frac{10\pi}{3}\Leftrightarrow\frac{32}{3}\leq k\leq\frac{40}{3}, k\in Z\Rightarrow k=11;12;13$$

$$k=11: x=\frac{\pi\cdot11}{4}=\frac{11\pi}{4}$$

$$k=12: x=\frac{\pi\cdot12}{4}=3\pi$$

$$k=13: x=\frac{\pi\cdot13}{4}=\frac{13\pi}{4}$$

2) $$\frac{8\pi}{3}\leq\frac{5\pi}{24}+\frac{\pi k}{2}\leq\frac{10\pi}{3}\Leftrightarrow\frac{64-5\pi}{24}\cdot\frac{2}{\pi}\leq k\leq\frac{80\pi-5\pi}{24}\cdot\frac{2}{\pi}\Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow\frac{59}{12}\leq k\leq\frac{75}{12}, k\in Z\Rightarrow k=5;6$$

$$k=5: x=\frac{5\pi}{24}+\frac{\pi\cdot5}{2}=\frac{65\pi}{24}$$

$$k=6: x=\frac{5\pi}{24}+\frac{\pi\cdot6}{2}=\frac{77\pi}{24}$$

3) $$\frac{8\pi}{3}\leq-\frac{5\pi}{24}+\frac{\pi k}{2}\leq\frac{10\pi}{3}\Leftrightarrow\frac{64+5}{12}\leq k\leq\frac{80+5}{12}, k\in Z\Rightarrow k=6;7$$

$$k=6: x=-\frac{5\pi}{24}+\frac{\pi\cdot6}{2}=\frac{67\pi}{24}$$

$$k=7: x=-\frac{5\pi}{24}+\frac{\pi\cdot7}{2}=\frac{79\pi}{24}$$

а) Известно, что образующие конуса равны, то есть, AB = BC. По условию сечение проходит через AB, BC и вершину B, следовательно, сечение – это равнобедренный прямоугольный треугольник ABC.

б) Расстояние от центра основания O до плоскости сечения – это перпендикуляр OP, который также можно воспринимать как высоту прямоугольного треугольника BON с площадью:

$$S_{BON}=\frac{1}{2}OP\cdot NB=\frac{1}{2}ON\cdot OB$$

Отсюда, имеем:

$$OP=\frac{ON\cdot OB}{NB}$$

Найдем сначала длины образующих AB и BC, зная, что радиус основания 12, а высота конуса OB = 5:

$$AB=BC=\sqrt{12^2+5^2}=13$$

Затем, из прямоугольного треугольника AB. Cнайдем AC:

$$AC=\sqrt{13^2+13^2}=13\sqrt{2}$$

Следовательно,

$$NC=\frac{1}{2}AC=\frac{13\sqrt{2}}{2}$$ и $$BN=\sqrt{BC^2-NC^2}=\sqrt{13^2-\frac{13^2}{2}}=\frac{13\sqrt{2}}{2}$$

Далее, из прямоугольного треугольника ONC находим ON:

$$ON=\sqrt{OC^2-NC^2}=\sqrt{144-\frac{169}{2}}=\sqrt{\frac{119}{2}}$$

Получаем значение расстояния OP:

$$OP=\frac{\sqrt{\frac{119}{2}}\cdot5}{\frac{13\sqrt{2}}{2}}=\frac{5\sqrt{119}}{13}$$

ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix} 7-x>0\\ x>0\\ x(7-x)>0 \end{matrix}\right.\left\{\begin{matrix} x\in (0;7)\\ x\in (0;7) \end{matrix}\right.\Rightarrow x\in (0;7)$$

$$30\cdot3^{\log_2(7-x)}+3\cdot3^{\log_2 x}-3^{\log_2 x}-3^{\log_2(7-x)}-90\geq0$$

$$30\cdot(3^{\log_2(7-x)}-3)+3^{\log_2 x}(3-3^{\log_2(7-x)}-90\geq0$$

$$(3^{\log_2(7-x)}-3)\cdot(30-3^{\log_2 x})\geq0$$

$$f(x)=\log_2 x$$ на промежутке $$(0;7)$$ возрастает. Наибольшее значение меньше $$\log_2 7<3=\log_2 8. 3^{\log_2 7}<27$$

$$\Rightarrow$$ на $$ОДЗ x\in (0;7)$$ разность $$30-3^{\log_2 x}>0.$$

Осталось решить неравенство $$3^{\log_2(7-x)}-3\geq0$$

$$\left\{\begin{matrix} x\in (0;7)\\ \log_2(7-x)\geq1 \end{matrix}\right.\left\{\begin{matrix} x\in (0;7)\\ x\leq5 \end{matrix}\right.$$

$$x\in (0;5]$$

Пусть на втором объекте работает $$k$$ рабочих, тогда на 1-м будет работать $$30-k$$ рабочих. Получаем суммарное значение их зарплаты:

$$f(k)=(30-k)\cdot200\cdot(30-k)+k\cdot(50k+300)$$

$$f(k)=(30-k)^2\cdot200+50k^2+300k$$

Найдем такое $$k,$$ при котором функция принимает наименьшее значение, то есть, вычислим точку экстремума:

$$f'(k)=-400\cdot(30-k)+100k+300=0$$

$$500k=11700$$

$$k=\frac{11700}{500}=23,4$$

Так как число рабочих – целое число, то $$k=23.$$ Получаем, что на первом объекте работает $$30-23=7$$ рабочих, а на втором – $$23.$$ Их суммарная зарплата, составит:

$$7^2\cdot200+23\cdot(50\cdot23+300)=43150$$ рублей

а) Рассмотрим четырехугольник ALBC, у которого углы $$ACB=ALB=90^{\circ},$$ а значит, вокруг него можно описать окружность (по свойству: сумма противоположных углов $$ACB+ALB=180^{\circ}$$). Тогда хорды AL = LB (треугольники АКС, ALB и ВМС – равнобедренные) стягивают дуги $$\cup AL=\cup LB,$$ следовательно, вписанные углы, опирающиеся на эти дуги, также равны: $$\angle ACL=\angle LCB=45^{\circ};$$ $$\angle KCA+\angle ACL=45^{\circ}+45^{\circ}=90^{\circ};$$ $$\angle LCB+\angle BCM=90^{\circ},$$ следовательно, LC перпендикулярна KM и LC – высота треугольника KLM.

б) Площадь треугольника KLM можно найти по формуле:

$$S_{KLM}=\frac{1}{2}KM\cdot LC$$

Пусть BC = a, AC = b, CL = d, AB = c, а P – точка пересечения AB и CL. Так как $$\angle ACP=\angle BCP=45^{\circ},$$ то CB – биссектриса треугольника ABC. По свойству биссектрис:

$$\frac{AP}{PB}=\frac{AC}{CB}=\frac{b}{a}$$

Учитывая, что AP + PB = AB = c, получаем систему:

$$\frac{AP}{PB}=\frac{b}{a}$$

$$AP+PB=c$$

С решением:

$$AP=\frac{bc}{a+b}; PB=\frac{ac}{a+b}$$

Так как углы $$\angle ACL=\angle BAL=45^{\circ},$$ то треугольники ACL и PAL подобны по двум углам и:

$$\frac{AC}{PA}=\frac{CL}{AL}\Rightarrow b: \frac{bc}{a+b}=d:\frac{c}{\sqrt{2}}$$

и $$d=\frac{a+b}{\sqrt{2}}.$$ Из равенства KM = KC + CM, получаем:

$$KM=\frac{a}{\sqrt{2}}+\frac{b}{\sqrt{2}}=d=10$$

Следовательно:

$$S_{KLM}=\frac{1}{2}10\cdot10=50$$

$$\left\{\begin{matrix} \log_{11}(a-y^2)=\log_{11}(a-x^2),\\ x^2+y^2=2x+6y \end{matrix}\right.$$

Решение системы определяем при

$$\left\{\begin{matrix} a-x^2>0\\ a-y^2>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} a>x^{2}\ (*)\\ a>y^2 \end{matrix}\right.$$

На $$(*)$$ получили:

$$\left\{\begin{matrix} -y^2=-x^2\\ x^2+y^2-2x-6y=0 \end{matrix}\right.$$

$$1) \left\{\begin{matrix} y=x\\ x^2+x^2-2x-6x=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} y=x\\ 2x^2-8x=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} y=x\\ \left[\begin{matrix} x=0\\ x=4 \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.\Leftrightarrow (0;0); (4;4)$$

С учётом $$(*):\left\{\begin{matrix} a>0^2\\ a>4^2 \end{matrix}\right.\Rightarrow a>16$$

$$2) \left\{\begin{matrix} y=-x\\ x^2+x^2-2x+6x=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} y=-x\\ 2x^2+4x=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} y=-x\\ \left[\begin{matrix} x=0\\ x=-2 \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.\Leftrightarrow (0;0); (-2;2)$$

С учётом $$(*):\left\{\begin{matrix} a>(-2)^2\\ a>2^2 \end{matrix}\right.\Rightarrow a>4$$

Получили: при $$a>0$$ есть решение, при $$a>4$$ добавляется ещё одно, при $$a>16$$ ещё одно.

Тогда ровно 2 решения при $$a\in (4;16]$$

Упорядочим числа по возрастанию x₁ < x₂ < ... < x₄₀. Заметим сразу, что достаточно проверять условие только для двух самых больших и четырех самых маленьких чисел.

а), б) В наборе 33, 777, 778, ..., 815 выполнено

в) Будем говорить, что с набором чисел можно сделать какую-то операцию, если после ее выполнения условие

не может нарушиться, числа останутся разными, а сумма чисел во всем наборе не становится больше. Если x₄₀ ≠ x₃₉ + 1, то можно заменить x₄₀ на x₃₉ + 1. Если после этого x₃₉ ≠ x₃₈ + 1, то можно заменить x₃₉ на x₃₈ + 1 и x₄₀ на x₃₈ + 2. Продолжая эти действия (сдвиг больших чисел вниз), мы в итоге получим набор чисел, идущих подряд, кроме может быть первого (даже все числа от x₃ до x₄₀ можно синхронно уменьшать, поскольку обе части неравенства

будут уменьшаться одинаково). Далее можно увеличивать на 1 первое число и уменьшать на 1 все остальные. Так можно делать, если x₂ − x₁ > 2.

Итак, оптимальный набор — это числа x, x + 1, x + 2, ..., x + 39 или x − 1, x + 1, x + 2, ..., x + 39, причем в первом случае 4x + 6 > 2x + 77, откуда x ≥ 36, а во втором 4x + 5 > 2x + 77, откуда x ≥ 37. В наборе 36, 37, ..., 75 сумма очевидно меньше, чем в наборе 36, 38, 39, ..., 76. Значит, минимальная сумма равна

а примером могут служить числа от 36 до 75.