Перейти к основному содержанию

ЕГЭ 2022. Вариант 15 Ященко 36 вариантов ФИПИ школе.



ЕГЭ 2022, полный разбор 15 варианта Ященко ФИПИ школе 36 вариантов. Решаем типовые варианты от Ященко 2022 года ЕГЭ профиль!

Решаем 15 вариант Ященко 2022 года сборника ФИПИ школе 36 вариантов. Разбор 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19 задания.

Больше разборов на моем ютуб-канале

Аналоги к этому заданию:

Задание 1

Найдите корень уравнения $$\sqrt{5x}=2\frac{1}{2}x$$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.
Ответ: 0,8
Скрыть

$$\sqrt{5x}=2\frac{1}{2}x$$

$$\sqrt{5x}=\frac{5}{2}x$$

$$2\sqrt{5x}=5x$$

$$4\cdot5x=25x^2$$

$$4x=25x^2$$

$$5x^2-4x=0$$

$$x\cdot(5x-4)=0$$

$$x_1=0$$

$$x_2=0,8$$

Подставим найденные значения x в исходное уравнение, проверим, являются ли они корнями:

$$\sqrt{5\cdot0}=2\frac{1}{2}\cdot0$$

$$0=0$$ - верно,

$$x_1=0$$ - корень

$$\sqrt{5\cdot0,8}=2\frac{1}{2}\cdot0,8$$

$$\sqrt{4}=2$$

$$2=2$$ - верно,

$$x_2$$ - корень

$$0,8>0$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 2

В магазине в одной коробке лежат вперемешку ручки с чёрными, синими и красными чернилами, одинаковые на вид. Покупатель случайным образом выбирает одну ручку. Вероятность того, что она окажется чёрной, равна 0,37, а того, что она окажется синей, равна 0,45. Найдите вероятность того, что ручка окажется красной.

Ответ: 0.18
Скрыть

Вероятность, что покупатель вообще возьмёт какую-то ручку $$1$$.

Вероятность того, что ручка окажется красной:

$$1-(вероятности  чёрная+синяя)=1-(0,37+0,45)=1-0,82=0,18$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 3

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол АВС равен 106°, угол CAD равен 69°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 37
Скрыть

Вписанный угол ABC опирается на дугу AC, угол CAB – на дугу BC, а угол ABD – на дугу AD. При этом из рисунка видно, что дуга

$$AD=AC-BC$$

Учитывая, что градусные меры дуг вписанных углов в два раза больше самих углов, получаем значение угла ABD:

$$\angle ABD=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}AC-\frac{1}{2}BC=\angle ABC-\angle CAB$$

$$\angle ABD=106^{\circ}-69^{\circ}=37^{\circ}$$

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 4

Найдите значение выражения $$\cos \alpha$$, если $$tg \alpha=-\frac{\sqrt{21}}{2}$$ и $$\alpha \in (\frac{3\pi}{2};2\pi)$$

Ответ: 0,4
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Аналоги к этому заданию:

Задание 5

В прямоугольном параллелепипеде $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ известно, что $$АВ=9, ВС=6, АА_1=5$$. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $$А, В, С, D, А_1, В_1$$.

Ответ: 135
Скрыть

Сделаем рисунок с многоугольником $$A, B, C, D, A_1, B_1$$:

 

Из рисунка хорошо видно, что объем этого многогранника в 2 раза меньше объема всего параллелепипеда $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$. То есть:

$$V=\frac{1}{2}AB\cdot BC\cdot AA_1=\frac{1}{2}\cdot9\cdot6\cdot5=135$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 6

На рисунке изображён график функции $$у=f(x)$$. Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 5. Найдите значение производной функции в точке $$х_0=5$$.

Ответ: -0,2
Скрыть

Значение производной в точке $$x_0=5$$ равна угловому коэффициенту касательной, проходящей через эту точку:

 

По условию задания касательная проходит через начало координат $$(0; 0)$$ и точку $$(5; -1)$$. Следовательно, ее угловой коэффициент, равен:

$$f'(x=x_0)=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{-1-0}{5-0}=-\frac{1}{5}=-0,2$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 7

Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет собой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. При этом объём и давление связаны соотношением $$р_1V^{1,4}_1=p_2V^{1,4}_2$$, где $$p_1 и  p_2$$ — давление газа (в атмосферах) в начальном и конечном состояниях, $$V_1$$ и $$V_2$$ — объём газа (в литрах) в начальном и конечном состояниях. Изначально объём газа равен 192 л, а давление газа равно одной атмосфере. До какого объёма нужно сжать газ, чтобы давление в сосуде стало 128 атмосфер? Ответ дайте в литрах.

Ответ: 6
Скрыть

Найдем объем $$V_2$$ из выражения $$p_1V_1^{1,4}=p_2V_2^{1,4}$$, получим:

$$1\cdot192^{1,4}=128\cdot V_2^{1,4}$$

$$192^{\frac{7}{5}}=2^7\cdot V_2^{\frac{7}{5}}$$

Возведем обе части уравнения в степень 5/7, получим:

$$192=2^5V_2$$

$$V_2=\frac{192}{32}=6$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 8

Две трубы, работая одновременно, наполняют бассейн за 18 часов 40 минут, а одна первая труба наполняет бассейн за 40 часов. За сколько часов наполняет бассейн одна вторая труба?

Ответ: 35
Скрыть

Пусть вторая труба наполняет резервуар за $$x$$ часов. Первая труба заполняет бассейн за  40 часов, а обе за $$18+\frac{40}{60}=18+\frac{2}{3}=\frac{56}{3}$$ часа. Условно примем объем резервуара за 1. Тогда первая труба будет наполнять его со скоростью $$\frac{1}{x}$$, а вторая со скоростью $$\frac{1}{40}$$. И так как обе трубы заполняют этот резервуар за $$\frac{56}{54}$$ часа, то можно записать уравнение:

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{40}=\frac{3}{56}$$

откуда

$$\frac{1}{x}=\frac{3}{56}-\frac{1}{40}=\frac{15-7}{280}=\frac{8}{280}=\frac{1}{35}$$

$$x=35$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 9

На рисунке изображён график функции $$f(x)=\frac{k}{x+a}$$.Найдите $$f(-7)$$.

Ответ: -0,4
Скрыть

Точка $$A(-4;1)$$ и $$B(-1;2)$$ принадлежат графику функции. Тогда:

$$\left\{\begin{matrix} -1=\frac{k}{-4a}\\ 2=\frac{k}{-1+a} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 4-a=k\\ 2a-2=k \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 4-a=2a-2\\ k=4-a \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=2\\ k=2 \end{matrix}\right.$$

Получим: $$f(-7)=\frac{2}{-7+2}=\frac{2}{-5}=-0,4$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 10

Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит её. Известно, что он попадает в цель с вероятностью 0,2 при каждом отдельном выстреле. Сколько патронов нужно дать стрелку, чтобы он поразил цель с вероятностью не менее 0,4?
Ответ: 3
Скрыть

Эту задачу проще решать от обратного и вычислять вероятность промаха цели при одном, двух, трех и т.д. числу выстрелов. А, затем, взять противоположную вероятность, которая будет определять поражение цели. Имеем:

- 1 выстрел. Вероятность промаха: $$P=1-0,2$$, вероятность попадания: $$1-P=0,2$$;

- 2 выстрела. Вероятность промаха: $$P=(1-0,2)^2$$, вероятность попадания: $$1-P=0,36$$;

- 3 выстрела. Вероятность промаха: $$P=(1-0,2)^3​​​​​​​$$, вероятность попадания: $$1-P=0,488$$​​​​​​​​​​​​​​.

То есть, стрелку нужно сделать 3 выстрела (минимум).

Аналоги к этому заданию:

Задание 11

Найдите точку максимума функции $$y=-\frac{x^2+196}{x}$$

Ответ: 14
Скрыть

$$y=−x−\frac{196}{x}​ (x\neq0)$$

$$​y′=0​$$

$$​−1+\frac{196}{x^2}=0​$$

$$​x=14​$$

$$​x=−14​$$

По методу интервалов $$​x=14​$$ – т. максимума

Аналоги к этому заданию:

Задание 12

а) Решите уравнение $$\sin^4 \frac{x}{4}-\cos^4 \frac{x}{4}=\cos(x-\frac{\pi}{2})$$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{3\pi}{2};\pi]$$.

Ответ: $$а)\pi+2\pi k, -\frac{\pi}{3}+4\pi k,-\frac{5\pi}{3}+4\pi k, k\in\mathbb{Z}$$ $$б) -\pi;-\frac{\pi}{3};\pi$$
Скрыть

а)

$$\sin^4\frac{x}{4}-\cos^4\frac{x}{4}=\cos(x-\frac{\pi}{2})$$

$$(\sin^2\frac{x}{4}-\cos^2\frac{x}{4})(\sin^2\frac{x}{4}+\cos^2\frac{x}{4})=\sin x$$

$$-(\cos^2\frac{x}{4}-\sin^2\frac{x}{4})=\sin x$$

$$-\cos(2\cdot\frac{x}{4})=2\sin\frac{x}{2}\cdot\cos\frac{x}{2}$$

$$-\cos\frac{x}{2}=2\sin\frac{x}{2}\cdot\cos\frac{x}{2}$$

$$\cos\frac{x}{2}+2\sin\frac{x}{2}\cdot\cos\frac{x}{2}=0$$

$$\cos\frac{x}{2}(1+2\sin\frac{x}{2})=0$$

$$\cos\frac{x}{2}=0$$ или $$1+2\sin\frac{x}{2}=0$$

Решим 1 уравнение:

$$\cos\frac{x}{2}=0$$

$$\frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n, n\in Z$$

$$x=\pi+2\pi n, n\in Z$$

Решим 2 уравнение:

$$1+2\sin\frac{x}{2}=0$$

$$\sin\frac{x}{2}=-\frac{1}{2}$$

$$\frac{x}{2}=-\frac{\pi}{6}+2\pi m, m\in Z$$ и $$\frac{x}{2}=-\frac{5\pi}{6}+2\pi k, k\in Z$$

$$x=-\frac{\pi}{3}+4\pi m, m\in Z$$ и $$x=-\frac{5\pi}{3}+4\pi k, k\in Z$$

б)

Выберем корни уравнения при помощи единичной окружности

Корень $$x=-\frac{5\pi}{3}+4\pi k, k\in Z$$ не принадлежит отрезку $$[-\frac{3\pi}{2};\pi],$$ поэтому его можно исключить.

$$x=-\pi; -\frac{\pi}{3}; \pi$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 13

В правильной шестиугольной призме $$ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$$ сторона основания $$АВ$$ равна $$4$$, а боковое ребро $$АА_1$$ равно $$5\sqrt{3}$$. На ребре $$DD_1$$ отмечена точка $$М$$ так, что $$DM:MD_1=3:2$$. Плоскость $$\alpha$$ параллельна прямой и проходит через точки $$М$$ и $$Е$$.
а) Докажите, что сечение призмы $$ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$$ плоскостью $$\alpha$$ — равнобедренная трапеция.
б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка $$F$$, а основанием — сечение призмы $$ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$$ плоскостью $$\alpha$$.

Ответ: 36
Скрыть а)

  1. Точки M и E лежат в одной плоскости – соединим их.
  2. Так как плоскость $$\alpha || A_1F_1$$ и содержит точку E, проведем через т. E прямую, параллельную $$A_1F_1:A_1F_1||AF||EB.$$

  1. Так как плоскость $$\alpha || A_1F_1$$ и содержит точку M, проведем через т. M прямую, параллельную $$A_1F_1:A_1F_1||AF||CD||MK.$$
  2. Четырехугольник BEMK – искомое сечение призмы плоскостью $$\alpha$$

MK||BE (по построению)

∆BKC = ∆EMD (по двум катетам: BC=ED, CK=DM т.к. MK||CD) $$\Rightarrow$$ BK=EM.

Значит, BEMK – равнобедренная трапеция.

Ч.т.д.

б)

$$V_{FBKME}=\frac{1}{3}\cdot S_{BKME}\cdot H_{пир}$$

$$1) S_{BKME}=\frac{KM+BE}{2}\cdot H_{трап}$$

$$CK=MD=\frac{3}{5}DD_1=3\sqrt{3}$$

$$BK=\sqrt{BC^2+CK^2}=\sqrt{4^2+(3\sqrt{3})^2}=\sqrt{43}$$

$$BH=GE=\frac{8-4}{2}=2$$

$$h=KH=\sqrt{BK^2-BH^2}=\sqrt{43-4}=\sqrt{39}$$

Тогда:

$$S_{BKME}=\frac{4+8}{2}\cdot\sqrt{39}=6\sqrt{39}$$

2) Для нахождения высоты $$h_{пир}$$ пирамиды FBKME введем систему координат как показано на рисунках и по формуле найдем расстояние от точки F до плоскости BME:

По теореме косинусов из ∆AFB найдем BF:  $$BF=4\sqrt{3}$$

Найдем координаты точки F и точек плоскости основания: B,E,M.

$$F(-2\sqrt{3};-2;0)$$

$$B(2\sqrt{3};-2;0)$$

$$E(-2\sqrt{3};2;0)$$

$$M(0;4;3\sqrt{3})$$

Составим уравнение плоскости BME:

$$\left\{\begin{matrix} 2\sqrt{3}A-2B+D=0\\ -2\sqrt{3}A+2B+D=0\\ 4B+3\sqrt{3}C+D=0 \end{matrix}\right.$$

Сложим 1 и 2 уравнение и получим D=0.

Из второго уравнения: $$A=\frac{B}{\sqrt{3}}$$

Из третьего уравнения: $$С=-\frac{4B}{3\sqrt{3}}$$

Тогда, уравнение плоскости BME примет вид:

$$\frac{B}{\sqrt{3}}x+By-\frac{4B}{3\sqrt{3}}z=0$$

Разделим обе части уравнения на B:

$$\frac{1}{\sqrt{3}}x+y-\frac{4}{3\sqrt{3}}z=0$$

$$h_{пир}=p(F;BME)=\frac{\left|\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot(-2\sqrt{3}+(-2)-\frac{4}{3\sqrt{3}}\cdot0\right|}{\sqrt{(\frac{1}{\sqrt{3}})^2+1^2+(\frac{4}{3\sqrt{3}})^2}}=\frac{6\sqrt{39}}{13}$$

$$V_{FBKME}=\frac{1}{3}\cdot6\sqrt{39}\cdot\frac{6\sqrt{39}}{13}=36$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 14

Решите неравенство $$(2\cdot0,5^{x+2}-0,5\cdot2^{x+2})(2\log_{0,5}^2 (x+2)-0,5\log_2 (x+2))\leq 0.$$

Ответ: $$[\sqrt[4]{2}-2;+\infty);-1$$
Скрыть

$$(2\cdot0,5^{x+2}-0,5\cdot2^{x+2})(2\log_{0,5}^2 (x+2)-0,5\log_2 (x+2))\leq 0$$

$$(2\cdot2^{-x-2}-2^{-1}\cdot2^{x+2})(2\log_{2}^2 (x+2)-\frac{1}{2}\log_2 (x+2))\leq 0$$

Для каждой скобки применим метод рационализации:

Если $$a>1,$$ то $$a^{f_1(x)}-a^{f_2(x)}$$ совпадает по знаку с $$(f_1(x)-f_2(x))$$ и $$\log_a f(x)$$ совпадает по знаку с $$(a-1)(f(x)-1)$$

$$(2^{-x-1}-2^{1+x})\cdot2\log_2 (x+2)\cdot(\log_2 (x+2)-\frac{1}{4})\leq0$$

$$-4(x+1)(x+1)(\log_2 (x+2)-\log_2\sqrt[4]{2})\leq0$$

$$(x+1)^2(x+2-\sqrt[4]{2})\geq0$$

$$[\sqrt[4]{2}-2;+\infty); -1$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 15

15 января планируется взять кредит в банке на 2 года. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1 % по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что за 15-й месяц кредитования нужно выплатить 44 тыс. рублей. Сколько рублей нужно будет вернуть банку в течение всего срока кредитования?

Ответ: 1 080 000 рублей
Скрыть

Пусть $$S$$ рублей – начальная сумма кредита. По условию сумма долга должна равномерно уменьшаться каждый месяц и на 24-й составлять 0 рублей, то есть, имеем последовательность долга по месяцам:

$$S,\frac{23}{24}S,\frac{22}{24}S,\cdots,\frac{10}{24}S,\cdots,\frac{1}{24}S,0$$

Далее, в начале каждого месяца долг возрастает на 1%, имеем последовательность перед выплатой:

$$1,01S;1,01\cdot\frac{23}{24}S;1,01\cdot\frac{22}{24}S;\cdots;1,01\cdot\frac{1}{24}S$$

Следовательно, сами выплаты по месяцам должны быть равны:

$$m_1=1,01S-\frac{23}{24}S=\frac{1}{24}S+0,01S$$

$$m_2=1,01\cdot\frac{23}{24}S-\frac{22}{24}S=\frac{1}{24}S+0,01\cdot\frac{23}{24}S$$

$$\cdots$$

$$m_{23}=1,01\cdot\frac{2}{24}S-\frac{1}{24}S=\frac{1}{24}S+0,01\cdot\frac{2}{24}S$$

$$m_{24}=1,01\cdot\frac{1}{24}S-0=\frac{1}{24}S+0,01\cdot\frac{1}{24}S$$

Известно, что за 15-й месяц выплаты составили 44 тыс. рублей, то есть:

$$m_{15}=\frac{1}{24}S+0,01\cdot\frac{10}{24}S=44000$$

Откуда

$$S=\frac{24\cdot44000}{1,1}=960000$$

И общая сумма возврата, равна:

$$(\frac{S}{24}+0,01S)+(\frac{S}{24}+0,01\cdot\frac{23}{24}S)+\cdots+(\frac{S}{24}+0,01\cdot\frac{1}{24}S)=$$

$$S+\frac{0,01S}{24}\cdot\frac{(24+1)\cdot24}{2}=S+\frac{0,25S}{2}$$

Подставляем числовые значения, получаем:

$$960000+\frac{0,25\cdot960000}{2}=1080000$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 16

В прямоугольнике $$ABCD$$ диагонали пересекаются в точке $$О$$, а угол $$BDC$$ равен $$75^{\circ}$$. Точка $$Р$$ лежит вне прямоугольника, а угол $$АРВ$$ равен $$150^{\circ}.$$

а) Докажите, что углы $$ВАР$$ и $$РОВ$$ равны.

б) Прямая $$РО$$ пересекает сторону $$CD$$ в точке $$F$$. Найдите $$CF$$, если $$АР=6\sqrt{3} и ВР=4.$$

Ответ: $$\frac{378-84\sqrt{3}}{23}$$
Скрыть

а) $$ABCD$$ – прямоугольник, следовательно, $$CO=OD$$ и треугольник $$COD$$–равнобедренный. По условию задания $$\angle ODC=75^{\circ}$$, значит, $$\angle COD=180^{\circ}-75^{\circ}\cdot2=30^{\circ}$$. Также по условию задания $$\angle APB=150^{\circ}$$ и можно заметить, что $$\angle APB+\angle AOB=180^{\circ}$$ (так как $$\angle AOB=\angle COD$$ как вертикальные).

Получаем, что вокруг четырехугольника $$PAOB$$ можно описать окружность. При этом, углы $$BAP$$ и $$BOP$$ опираются на одну и ту же дугу $$BP$$, следовательно, они равны.

б) Рассмотрим треугольник $$BAP$$. По теореме косинусов сторона $$AB$$, равна:

$$AB^2=BP^2+AP^2-2BP\cdot AP\cdot\cos \angle APB$$

$$AB^2=4^2+(6\sqrt{3})^2-2\cdot4\cdot6\sqrt{3}\cdot\cos 150^{\circ}$$

$$AB^2=16+108+72=196$$

$$AB=\sqrt{196}=14$$

Стороны $$AB$$ и $$OP$$ пересекаются в точке $$M$$, при этом $$OB=OA$$, значит и дуги $$OB=OA$$ и углы $$\angle OPB=\angle OPA$$, следовательно, $$PM$$–биссектриса угла $$APB$$. По свойству биссектрисы:

$$\frac{AM}{MB}=\frac{AP}{BP}$$; $$\frac{6\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$$

Пусть $$AM=x$$, тогда $$BM=14–x$$ и

$$\frac{x}{14-x}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$$

$$2x=3\sqrt{3}\cdot(14-x)$$

$$2x+3\sqrt{3}\cdot x=42\sqrt{3}$$

$$(2+3\sqrt{3})x=42\sqrt{3}$$

$$AM=x=\frac{42\sqrt{3}}{2+3\sqrt{3}}=\frac{42\sqrt{3}\cdot(2-3\sqrt{3}}{2^2-(3\sqrt{3})^2}=\frac{378-84\sqrt{3}}{23}$$

Треугольники $$COF$$ и $$AOM$$ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам, значит, $$CF=AM$$

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 17

Найдите все значения а, при каждом из которых среди корней уравнения $$3x^{2}-24x+64=a|x-3|$$ будет ровно три положительных.

Ответ: $$6+2\sqrt{57};(21\frac{1}{3};+\infty)$$
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 18

У Миши в копилке есть 2-рублёвые, 5-рублёвые и 10-рублёвые монеты. Если взять 10 монет, то среди них обязательно найдётся хотя бы одна 2-рублёвая. Если взять 15 монет, то среди них обязательно найдётся хотя бы одна 5-рублёвая. Если взять 20 монет, то среди них обязательно найдётся хотя бы одна 10-рублёвая.

а) Может ли у Миши быть 30 монет?
б) Какое наибольшее количество монет может быть у Миши?
в) Какая наибольшая сумма рублей может быть у Миши?
Ответ: а)нет б)21 в)82
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!