Перейти к основному содержанию

ЕГЭ 2022. Вариант 13 Ященко 36 вариантов ФИПИ школе.



ЕГЭ 2022, полный разбор 13 варианта Ященко ФИПИ школе 36 вариантов. Решаем типовые варианты от Ященко 2022 года ЕГЭ профиль!

Решаем 13 вариант Ященко 2022 года сборника ФИПИ школе 36 вариантов. Разбор 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19 задания.

Больше разборов на моем ютуб-канале

Аналоги к этому заданию:

Задание 1

Найдите корень уравнения $$\log_3 (2-x) = \log_9 16$$
Ответ: -2
Скрыть

$$\log_3 (2-x)=\log_9 16$$

$$\log_3 (2-x)=\frac{1}{2}\log_3^{2} 16$$

$$\log_3 (2-x)=\log_3 16$$

$$\log_3 (2-x)=\log_3 16^{\frac{1}{2}}$$

$$\log_3 (2-x)=\log_3 \sqrt{16}$$

$$\log_3 (2-x)=\log_3 4$$

$$2-x=4$$

$$-x=4-2$$

$$-x=2$$

$$x=-2$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 2

В гонке с раздельным стартом участвуют 25 лыжников, среди которых 7 спортсменов из Норвегии. Порядок старта определяется с помощью жребия случайным образом. Один из норвежских лыжников получил стартовый номер «5». Найдите вероятность, что он будет стартовать за своим соотечественником.
Ответ: 0,25
Скрыть

Чтобы норвежский лыжник под номером «5» стартовал за своим соотечественником, необходимо, чтобы под номером «4» также был спортсмен из Норвегии. Найдем вероятность этого события. Так как из 25 лыжников номером «5» уже занят, то остается $$n=25-1=24$$ лыжника и среди них $$m=7-1=6$$ из Норвегии. Получаем значение искомой вероятности: $$P=\frac{m}{n}=\frac{6}{24}=\frac{1}{4}=0,25$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 3

В четырехугольник ABCD вписана окружность, АВ = 13, CD =18. Найдите периметр четырёхугольника ABCD.

Ответ: 62
Скрыть

Для четырёхугольника описанного вокруг окружности справедливо равенство: $$AD+BC=DC+AB$$

Следовательно, периметр можно вычислить как $$P=2\cdot(AB+CD)=2\cdot(13+18)=62$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 4

Найдите значение выражения $$\frac{8^{2,8}\cdot5^{3,2}}{20^{2,2}}.$$
Ответ: 80
Скрыть
$$\frac{8^{2,8}\cdot5^{3,2}}{20^2,2}=\frac{(2^{3})^{2,8}\cdot5^{3,2}}{(4\cdot5)^{2,2}}=\frac{2^{3\cdot2,8}\cdot5^{3,2}}{4^{2,2}\cdot5^{2,2}}=\frac{2^{8,4}\cdot5^{3,2}}{2^{2\cdot2,2}\cdot5^{2,2}}=\frac{2^{8,4}}{2^{4,4}}\cdot\frac{5^{3,2}}{5^{2,2}}=2^{8,4-4,4}\cdot5^{3,2-2,2}=$$

$$=2^{4}\cdot5^{1}=16\cdot5=80.$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 5

Радиусы двух шаров равны 7 и 24. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей поверхностей двух данных шаров.
Ответ: 25
Скрыть

Площадь поверхности шара находится по формуле: $$S=4\pi R^2$$

Площадь поверхности 1-го шара с $$R=7$$: $$S_1=4\cdot\pi\cdot7^2=4\cdot\pi\cdot49=196\pi$$

Площадь поверхности 2-го шара с $$R=24$$: $$S_2=4\cdot\pi\cdot24^2=4\cdot\pi\cdot576=2304\pi$$

Сумма площади поверхности двух шаров: $$S_1+S_2=196\pi+2304\pi=2500\pi$$

Найдём R такого шара:

$$4\pi R^2=2500\pi$$

$$4R^2=2500$$

$$R^2=625$$

$$R=25$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 6

На рисунке изображён график функции у = f(x), определённой на интервале (-4; 9). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

Ответ: 6
Скрыть

Известно, что производная принимает положительное значение в точках, где функция возрастает. Выберем такие целые точки на графике f(x):

Имеем 6 таких точек.

Аналоги к этому заданию:

Задание 7

Небольшой мячик бросают под острым углом а к плоской горизонтальной поверхности земли. Максимальная высота полёта мячика Н (в м) вычисляется по формуле $$Н=\frac{v^{2}_{0}}{4g}(1-\cos 2\alpha)$$, где $$v_{0}=12$$ м/с — начальная скорость мячика, a g — ускорение свободного падения (считайте $$g=10м/с^{2}$$). При каком наименьшем значении угла а мячик пролетит над стеной высотой 4,4 м на расстоянии 1 м? Ответ дайте в градусах.
Ответ: 60
Скрыть

Сначала выразим косинус угла из формулы высоты, получим: $$\cos 2\alpha=1-\frac{H}{v^{2}_{0}/4g}=1-\frac{4Hg}{v^{2}_{0}}$$

Подставим в эту формулу числовые значения $$H=4,4+1=5,4 м$$; $$v_{0}=12 м/c$$: $$\cos 2\alpha=1-\frac{4\cdot5,4\cdot10}{12^2}=1-\frac{18}{12}=-\frac{1}{2}$$

Так как угол острый, то имеем первую четверть единичной окружности:

$$2\alpha=120^{\circ}$$

$$\alpha=60^{\circ}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 8

Имеется два сплава. Первый содержит 50 % никеля, второй — 15 % никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 175 кг, содержащий 25 % никеля. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго?
Ответ: 75
Скрыть

Обозначим за $$х$$ массу первого сплава, тогда масса второго $$175-х$$.

Масса никеля в первом сплаве $$0,5\cdot5$$, во втором $$0,15\cdot(175-x)$$, зная, что третий сплав получили сложением первых двух и там 25: никеля составим уравнение:

$$0,5x+0,15(175-x)=0,25\cdot175  |\cdot100$$

$$50x+15(175-x)=25\cdot175$$

$$50x+2625-15x=4375$$

$$35x=4375-2625$$

$$35x=1750$$

$$x=50$$ кг - масса первого сплава

$$175-x=175-50=125$$ - масса второго сплава

Найдём на сколько масса первого сплава меньше массы второго сплава: $$125-50=75$$ кг.

 

Аналоги к этому заданию:

Задание 9

На рисунке изображён график функции $$f(x)=2х^{2}+bх+с$$, где числа $$b$$ и $$c$$ — целые. Найдите $$f(-5).$$

Ответ: 28
Скрыть

Коэффициент c всегда равен координате пересечения параболы оси $$Oy$$: $$c=-4$$Возьмём точку принадлежащую параболе $$(1:1)$$ подставим её координаты и значение $$c$$ в функцию, найдём $$b$$:

$$1=2\cdot1^2+b\cdot1-(-4)$$

$$b=3$$

Функция имеет вид:

$$f(x)=2x^2+3x-4$$

Найдём $$f(-5)$$:

$$f(-5)=2\cdot(-5)^2+3\cdot(-5)-4=50-15-4=31$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 10

Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 95 % яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 45 % яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 60 % яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.
Ответ: 0,3
Скрыть

$$х$$ - вероятность того, что яйцо из первого хозяйства

$$1-х$$ - вероятность того, что яйцо из второго хозяйства

по формуле полной вероятности:

$$0,95х+0,45(1-х)=0,6$$

$$0,95х+0,45-0,45х=0,6$$

$$0,5х=0,6-0,45$$

$$0,5х=0,15$$

$$х=0,3$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 11

Найдите наибольшее значение функции $$у=3х^{5}-5х^{3}+16$$ на отрезке $$[-4;0].$$
Ответ: 18
Скрыть

$$y=3x^5-5x^3+16$$

$$y'=15x^4-15x^2$$

$$15x^4-15x^2=0$$

$$15x^2(x^2-1)=0$$

$$x_1=0$$

$$x_2=1$$ (не учитываем, т.к. не принадлежит $$[-2;0])$$

$$x_3=-1$$

$$f(-2)=3\cdot(-2)^5-5\cdot(-2)^{3}+16=-40$$

$$f(-1)=3\cdot(-1)^5-5\cdot(-1)^{3}+16=18$$ - наибольшее

$$f(0)=3\cdot(0)^5-5\cdot(0)^{3}+16=16$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 12

а) Решите уравнение $$(x^{2}+2x+1)(\log_2 (x^{2}-3)+\log_{0,5} (\sqrt{3}-x))=0.$$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-2,5; -1,5].$$

Ответ: $$а) -1-\sqrt{2}$$; $$-1-\sqrt{3}$$; $$б) -1-\sqrt{2}$$
Скрыть

Решение определено при M(X):

$$\left\{\begin{matrix} (x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})>0\\ \sqrt{3}-x>0 \end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix} x\in (-\infty;-\sqrt{3})\cup(\sqrt{3};+\infty)\\ x\in (-\infty;\sqrt{3}) \end{matrix}\right.$$

$$x<-\sqrt{3}$$

$$\left[\begin{matrix} x^2+2x-1=1\\ \log_2(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})-\log_2(\sqrt{3}-x)=0 \end{matrix}\right. \left[\begin{matrix} x=-1+\sqrt{2} \notin M(x)\\ x=-1-\sqrt{2}\\ \log_2\frac{(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})}{(\sqrt{3}-x)} \end{matrix}\right. \left[\begin{matrix} x=-1-\sqrt{2}\\ x=-1-\sqrt{3} \end{matrix}\right.$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 13

В правильной треугольной пирамиде $$SABC$$ сторона основания $$АВ$$ равна 6, а боковое ребро $$SA$$ равно $$\sqrt{21}$$. На рёбрах $$АВ$$ и $$SB$$ отмечены точки $$М$$ и $$К$$ соответственно, причём $$AM = 4$$, $$SK : КВ = 1:3.$$

а) Докажите, что плоскость $$СКМ$$ перпендикулярна плоскости $$АВС$$.

б) Найдите объём пирамиды $$ВСКМ$$.

Ответ: $$\frac{9\sqrt{3}}{4}$$
Скрыть

а) Пусть $$N$$ — середина стороны $$AC$$. Проведем медиану $$NB$$ основания пирамиды и высоту $$SO$$.

Рассмотрим треугольник $$SNB$$: $$BO$$ относится к $$ON$$ как $$2:1$$, потому что $$NB$$ — медиана, следовательно, $$BO=\frac{2}{3}BN$$; через точку $$K$$ проведем $$KH$$ параллельно $$SO$$. Тогда $$KH$$ перпендикулярен плоскости $$ABC$$ и прямой $$NB$$ в ней. Треугольники $$SOB$$ и $$KHB$$ подобны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно,

$$\frac{BK}{BS}=\frac{3}{4}=\frac{BH}{BO}\Leftrightarrow BH=\frac{3}{4}BO=\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{3}BN=\frac{1}{2}BN$$,

тогда $$H$$ — середина стороны $$BN$$.

Теперь рассмотрим треугольник $$BAN$$. Для него выполняется равенство дробей:

$$\frac{BM}{MA}\cdot\frac{AC}{CN}\cdot\frac{NH}{HB}=1\Leftrightarrow\frac{2}{4}\cdot\frac{6}{3}\cdot\frac{NH}{NH}=1$$,

значит, по теореме Менелая точки $$M, H$$ и $$C$$ лежат на одной прямой, тогда плоскость $$KMC$$ проходит через прямую $$KH$$ перпендикулярную плоскости $$ABC$$, следовательно, плоскости $$KMC$$ и $$ABC$$ перпендикулярны.

б) Рассчитаем объем $$BKCM$$:

$$V_{BKCM}=\frac{1}{3}\cdot KH\cdot S_{BMC}=\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{4} SO\cdot S_{BMC}$$.

Рассмотрим треугольник $$SOB$$. По теореме Пифагора:

$$SO=\sqrt{SB^{2}-BO^{2}}=\sqrt{21-(\frac{1}{2}BN)^{2}}=\sqrt{21-(\frac{2}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}AB)^{2}}=\sqrt{21-\frac{1}{3}\cdot36}=3$$

$$S_{BMC}=\frac{1}{2} BM\cdot BC\cdot\sin B=\frac{1}{2}\cdot2\cdot6\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$$

$$V=\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{4}\cdot3\cdot3\sqrt{3}=\frac{9\sqrt{3}}{4}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 14

Решите неравенство $$\frac{4^{x-0,5}+1}{9\cdot4^{x}-16^{x+0,5}-2}\leq0,5$$
Ответ: $$(—оо;—1); 0; (0,5;+оо)$$
Скрыть

$$\frac{4^{x-0,5}+1}{9\cdot4^{x}-16^{x+0,5}-2}\leq0,5$$

Пусть $$4^x=t>0$$

Получим: $$\frac{\frac{t}{2}+1}{9t-4t^2-2}\leq\frac{1}{2}\Leftrightarrow\frac{t+2}{2\cdot(-4)(t-\frac{1}{4})(t-2)}-\frac{1}{2}\leq0\Leftrightarrow\frac{t+2+4t^2-9t+2}{-8(t-\frac{1}{4})(t-2)}\geq0\Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow\left[\begin{matrix} t=1\\ t\leq\frac{1}{4}\\ t\geq2 \end{matrix}\right.$$

С учётом $$t>0: \left[\begin{matrix} t\in (0;\frac{1}{4}]\\ t=1\\ t\geq2 \end{matrix}\right.$$

Обратная замена: $$\left[\begin{matrix} 4^x\leq\frac{1}{4}\\ 4^x=1\\ 4^x\geq2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{matrix} x\leq-1\\ x=0\\ x\geq\frac{1}{2} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\in(-\infty;-1];0;[\frac{1}{2};+\infty)$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 15

Алексей планирует 15 декабря взять в банке кредит на 2 года в размере 1 806 000 рублей. Сотрудник банка предложил Алексею два различных варианта погашения кредита, описание которых приведено в таблице.

Вариант 1

- каждый январь долг возрастает на 15 % по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

- кредит должен быть полностью погашен за два года двумя равными платежами

Вариант 2

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2 % по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

- к 15-му числу 24-го месяца кредит должен быть полностью погашен

На сколько рублей меньше окажется общая сумма выплат банку по более выгодному для Алексея варианту погашения кредита?

Ответ: 35 700 рублей
Скрыть

Пусть S — размер кредита, он равен 1806 тысячам рублей. Срок погашения кредита n составляет 2 года или 24 месяца. Процентная ставка r составляет в первом варианте 15% годовых, а во втором 2% ежемесячно.

В первом варианте долг х выплачен двумя платежами, поэтому $$(S\cdot1,15-x)1,15-x=0$$,

откуда $$S\cdot1,3225-2,15x=0\Leftrightarrow\frac{S\cdot1,3225}{2,15}\Leftrightarrow x=\frac{1806\cdot1,3225}{2,15}=1110,9$$ тыс. руб.

Сумма выплат составляет:

$$1110,9\cdot2=2221,8$$ тыс. руб.

Во втором варианте суммы долга составляют арифметическую прогрессию:

$$S\cdot1,02, S\cdot1,02\cdot\frac{23}{24}, S\cdot1,02\cdot\frac{22}{24},\cdots,S\cdot1,02\cdot\frac{1}{24}$$.

а выплаты равны:

$$S\cdot0,02+\frac{S}{24},\frac{S\cdot0,02\cdot23+S}{24},\frac{S\cdot0,002\cdot22+5}{24},\cdots,\frac{S\cdot0,02+S}{24}$$.

Поэтому для суммы выплат получаем:

$$S+S\cdot0,02(1+\frac{23}{24}+\frac{22}{24}+...+\frac{1}{24})=S+S\cdot0,02(\frac{1+\frac{1}{24}}{2}\cdot24)=$$

$$=S+S\cdot0,02\cdot\frac{25}{2}=S+\frac{S}{4}=1,25S$$ или $$1,25\cdot1806=2257,5$$ тыс. руб.

Следовательно, более выгоден кредит, описанный в варианте 1; разность сумм выплат составит

$$2257,5-2221,8=35,7(тыс. руб.)=35700$$ руб.

Аналоги к этому заданию:

Задание 16

В четырёхугольнике ABCD противоположные стороны не параллельны. Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке О под прямым углом и образуют четыре подобных треугольника, у каждого из которых одна из вершин — точка О.

а) Докажите, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность.

б) Найдите радиус вписанной окружности, если АС = 10, BD = 26.

Ответ: $$\frac{5\sqrt{26}}{6}$$
Скрыть

а) Рассмотрим треугольники $$ABO$$ и $$COD$$: углы $$ABD$$ и $$BDC$$ при секущей $$BD$$ не равны. Тогда, так как треугольники $$ABO$$ и $$COD$$ подобны, углы $$ABO$$ и $$DCO$$, а также $$BAO$$ и $$CDO$$ равны. Аналогично для треугольников $$AOD$$ и $$BDC$$. Сумма углов $$ABO$$ и $$OBC$$ не равна $$90^{\circ}$$, следовательно, конфигурацию можно представить приведенным рисунком. Заметим, что $$\widehat{ABD}=\widehat{ACD}$$, cледовательно, вокруг четырехугольника $$ABCD$$ можно описать окружность.

б) Пусть $$BO = a, OC = b$$, тогда: $$OD=OC\cdot\frac{b}{a}=\frac{b^{2}}{a}$$, $$BO=OA\cdot \frac{AO}{OD}\Leftrightarrow a=\frac{AO^{2}}{b^{2}}\Leftrightarrow AO=b$$

Из этого следует, что стороны AO и OC равны: $$AO=OC=5.$$

Пусть $$OB=x$$, тогда $$OD=\frac{25}{x}=26-x$$ Тогда: $$x^{2}-26x+25=0$$ 

$$x=1$$, $$x=25$$.

С учетом симметрии, можно выбрать любое из найденных значений x.

Пусть длина $$OB$$ равна 1, длина $$OD$$ равна 25, тогда:

$$AB=BC=\sqrt{25+1}=\sqrt{26}$$, $$AD=DC=\sqrt{25+625}=\sqrt{650}=5\sqrt{26}$$.

Найдем полупериметр четырехугольника:

$$ABCD$$: $$p_{ABCD}=\frac{2\cdot \sqrt{26}+2\cdot 5\sqrt{26}}{2}=6\sqrt{26}$$.

Найдем площадь четырехугольника $$ABCD$$:

$$S_{ABCD}=2S_{BAD}=2\cdot \frac{1}{2}\cdot AO\cdot BD=5\cdot 26=130$$.

Вычислим искомый радиус:

$$r=\frac{S_{ABCD}}{p_{ABCD}}=\frac{130}{6\sqrt{26}}=\frac{62\sqrt{26}}{3\cdot 26}=\frac{5\sqrt{26}}{6}$$.

Осталось отметить, что диагональ $$АС$$ может является другой диагональю дельтоида и биссектрисой его углов. В этом случае аналогичное приведенному выше квадратное уравнение имеет вид $$x^{2}-5x+169=0$$, и не имеет корней. Следовательно, такая конфигураций невозможна.

Аналоги к этому заданию:

Задание 17

Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений

$$\left\{\begin{matrix} \ \frac{5}{x}+3-y=\left |y-2+\frac{3}{x}\right |\\2y(y-4)+3x(ax+4)=xy(2a+3)\end{matrix}\right.$$

имеет больше трёх решений.

Ответ: $$(-\frac{9}{16};-0,5);(-0,5;0);(0;2);(2;+оо)$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 18

Петя участвовал в викторине по истории. За каждый правильный ответ участнику начисляется 8 баллов, за каждый неверный — списывается 8 баллов, за отсутствие ответа списывается 3 балла. По результатам викторины Петя набрал 35 баллов.

а) На сколько вопросов Петя не дал ответа, если в викторине было 30 вопросов?

б) На сколько вопросов Петя не дал ответа, если в викторине было 35 вопросов?

в) На сколько вопросов Петя ответил правильно, если в викторине было 33 вопроса?

Ответ: а) 7; б) 15; в) 14
Скрыть

Будем считать, что за каждый вопрос дают $$8$$ баллов, а потом списывают по $$16$$ за каждый неверный ответ и по $$11$$ за отсутствие ответа. Пусть Петя ответил неверно на $$x$$ вопросов и не ответил вовсе на y, тогда он потерял $$16x+11y$$ баллов.

а) По условию $$30\cdot8-16-11y=35$$, откуда $$16x+11y=205$$, $$205−16x=11y$$.

Перебором среди чисел $$205$$, $$205−16$$, $$205−32$$, ..., $$205−192$$ находим единственное кратное $$11$$ число $$205−128=77$$, откуда $$y=7$$.

б) По условию $$35\cdot8-16x-11y=35$$, откуда $$16x+11y=245$$, $$245−16x=11y$$.

Перебором среди чисел $$245$$, $$245−16$$, $$245−32$$, ..., $$245−240$$ находим единственное кратное $$11$$ число $$245−80=165$$, откуда $$y = 15$$.

в) Добавим к викторине два вопроса, на один из которых он ответит верно, а на другой неверно. Тогда получим условие пункта $$б)$$, в котором уже получено $$x=5$$, $$y=15$$.

Значит, он ответил верно на $$35−15−5=15$$ вопросов, один из которых был среди дополнительных. Поэтому на самом деле верных ответов было $$14$$.