ЕГЭ 2021. Вариант 8 Ященко 36 вариантов ФИПИ школе.
ЕГЭ 2021, полный разбор 8 варианта Ященко ФИПИ школе 36 вариантов. Решаем типовые варианты от Ященко 2021 года ЕГЭ профиль!
Решаем 8 вариант Ященко 2021 года сборника ФИПИ школе 36 вариантов. Разбор 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19 задания.
Больше разборов на моем ютуб-канале
Задание 1
В прошлом году во время конференции в среднем за день расходовалось 80 пакетиков чая. В этом году организаторы решили купить чай с запасом в 5% по сравнению к расходу прошлого года. Конференция длится 4 дня. В пачке чая 50 пакетиков. Какое наименьшее количество таких пачек чая надо купить?
Задание 2
Мощность отопителя в автомобиле регулируется дополнительным сопротивлением. При этом меняется сила тока в электрической цепи электродвигателя: чем меньше сопротивление, тем больше сила тока и тем быстрее вращается вентилятор отопителя. На рисунке показана зависимость силы тока от величины сопротивления. На горизонтальной оси отмечено сопротивление в омах, на вертикальной оси - сила тока в амперах. Определите, на сколько ампер уменьшилась сила тока в цепи при увеличении сопротивления с 1 ома до 2,5 ома.
Задание 10
Независимое агентство намерено ввести рейтинг R новостных изданий на основе показателей информативности In, оперативности Ор и объективности Тг публикаций, а также качества Q сайта. Каждый отдельный показатель - целое число от 0 до 4.
Составители рейтинга считают, что информативность публикаций ценится вдвое, а объективность - втрое дороже, чем оперативность и качество сайта, то есть $$R=\frac{2In+Op+3Tr+Q}{A}$$
Найдите, каким должно быть число А, чтобы издание, у которого все показатели максимальны, получило рейтинг 1.
Задание 11
Дорога между пунктами А и В состоит из подъёма и спуска, а её длина равна 36 км. Путь из А в В занял у туриста 10 часов, из которых 2 часа ушло на спуск. Найдите скорость туриста на спуске, если она больше скорости на подъёме на 3 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Задание 13
а) Решите уравнение $$\cos 2x-\sin 2x\ =\ \cos x\ +\ \sin x\ +\ 1.$$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$\left[-\frac{5\pi }{2};-\pi \right].$$
Задание 14
а)
$$DM=\frac{\sqrt{3}}{4}$$
$$D_1M=\frac{3\sqrt{3}}{4}$$
$$BC_1=\sqrt{12}$$ (т. Пифагора)
$$MK=\frac{3\sqrt{7}}{4}$$ (т. Пифагора)
$$DB=3\sqrt{2}$$ (свойство квадратов)
$$BM=\sqrt{18+\frac{3}{16}}=\frac{\sqrt{291}}{4}$$ (т. Пифагора)
$$BK=\sqrt{\frac{9}{4}+12}=\frac{\sqrt{57}}{2}$$ (т. Пифагора)
Сравним $$BM^2$$ и $$MK^2+BK^2$$
$$\frac{291}{16}$$ и $$\frac{63}{16}+\frac{57}{4}$$
$$BM^2=MK^2+BK^2$$
По теореме, обратной теореме косинусов вывод:
$$MK\perp BK, чтд$$
б)
$$(ABB_1)||(DD_1C_1)$$
Найдём $$\widehat{(DD_1C_1)(MKB)},$$ он равен искомому.
Д. П. $$KN\perp MK$$
$$ctg\alpha=tg(90^{\circ}-\alpha)=\frac{2}{\sqrt{3}}$$
Треугольник $$KC_1N:$$
$$C_1N=\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$$
$$\Rightarrow$$ т. N совпадает с т. C.$$\Rightarrow CK\perp MK$$
$$\angle BKC=x$$ - искомый (по определению)
Треугольник $$KC_1C:$$
$$KC=\sqrt{\frac{9}{4}+3}=\frac{\sqrt{21}}{2}$$ (по т. Пифагора)
Треугольник $$BKC:$$
$$tgx=\frac{3}{\frac{\sqrt{21}}{2}}=\frac{6}{\sqrt{21}}=\frac{6\sqrt{21}}{21}=\frac{2\sqrt{21}}{7}$$
$$x=arctg\frac{2\sqrt{21}}{7}$$
Задание 16
а) Рассмотрим четырехугольник ALBC, у которого углы $$ACB=ALB=90^{\circ},$$ а значит, вокруг него можно описать окружность (по свойству: сумма противоположных углов $$ACB+ALB=180^{\circ}$$). Тогда хорды AL = LB (треугольники АКС, ALB и ВМС – равнобедренные) стягивают дуги $$\cup AL=\cup LB,$$ следовательно, вписанные углы, опирающиеся на эти дуги, также равны: $$\angle ACL=\angle LCB=45^{\circ};$$ $$\angle KCA+\angle ACL=45^{\circ}+45^{\circ}=90^{\circ};$$ $$\angle LCB+\angle BCM=90^{\circ},$$ следовательно, LC перпендикулярна KM и LC – высота треугольника KLM.
б) Площадь треугольника KLM можно найти по формуле:
$$S_{KLM}=\frac{1}{2}KM\cdot LC$$
Пусть BC = a, AC = b, CL = d, AB = c, а P – точка пересечения AB и CL. Так как $$\angle ACP=\angle BCP=45^{\circ},$$ то CB – биссектриса треугольника ABC. По свойству биссектрис:
$$\frac{AP}{PB}=\frac{AC}{CB}=\frac{b}{a}$$
Учитывая, что AP + PB = AB = c, получаем систему:
$$\frac{AP}{PB}=\frac{b}{a}$$
$$AP+PB=c$$
С решением:
$$AP=\frac{bc}{a+b}; PB=\frac{ac}{a+b}$$
Так как углы $$\angle ACL=\angle BAL=45^{\circ},$$ то треугольники ACL и PAL подобны по двум углам и:
$$\frac{AC}{PA}=\frac{CL}{AL}\Rightarrow b: \frac{bc}{a+b}=d:\frac{c}{\sqrt{2}}$$
и $$d=\frac{a+b}{\sqrt{2}}.$$ Из равенства KM = KC + CM, получаем:
$$KM=\frac{a}{\sqrt{2}}+\frac{b}{\sqrt{2}}=d=6$$
Следовательно:
$$S_{KLM}=\frac{1}{2}\cdot6\cdot6=18$$
Задание 17
Сергей хочет купить пакет акций быстрорастущей компании. В начале года у Сергея не было денег на покупку акций, а пакет стоил 160 000 рублей. В середине каждого месяца Сергей откладывает на покупку пакета акций одну и ту же сумму, а в конце месяца пакет дорожает, но не более чем на 25 \%. Какую наименьшую сумму нужно откладывать Сергею каждый месяц, чтобы через некоторое время купить желаемый пакет акций?
Задание 18
Найдем производную заданной функции: $$f'(x)=4ax^3+12x^2-6x.$$ Необходимо и достаточно, чтобы f' имела на отрезке [−2; 2] два нуля, в которых она меняет знак с плюса на минус. При этом, если корней ровно два, то в одном из них производная знак не меняет. Следовательно, корней ровно три и характеры смены знака в них чередуются (с плюса на минус, с минуса на плюс и снова с плюса на минус). Поэтому все три корня должны лежать на отрезке [−2; 2]. Тогда
$$4ax^3+12x^2-6x=0\Leftrightarrow 2x(2ax^2+6x-3)=0.$$
Следовательно, число $$x=0$$ — корень, то есть теперь необходимо и достаточно, чтобы два корня уравнения $$2ax^2+6x-3=0$$ лежали на отрезке [−2; 2].
Учитывая, что графиком функции $$g(x)=2ax^2+6x-3$$ при $$a<0$$ является парабола, ветви которой направлены вниз, необходимо и достаточно выполнения системы неравенств:
$$\left\{\begin{matrix} g(2)\leq0,\\ g(-2)\leq0,\\ D>0,\\ x_{верш}\in(-2;2), \end{matrix}\right.$$
то есть
$$\left\{\begin{matrix} 8a+12-3\leq0,\\ 8a-12-3\leq0,\\ 36+24a>0,\\ -2<-\frac{6}{4a}<2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a\leq-\frac{9}{8},\\ a\leq\frac{15}{8},\\ a>-\frac{3}{2},\\ a>-\frac{3}{4} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow a\leq-\frac{9}{8}.$$
Задание 19
Раскладывая все числа от 1 до n на простые множители и объединяя затем множители 2 и 5 в пары, мы будем получать множители 10, которые просто прибавляют 0 на конце числа. Когда множители 2 или 5 (на самом деле всегда 5) закончатся, оставшееся число не будет кончаться на 0, поэтому количество нулей равно либо суммарному количеству пятерок, либо суммарному количеству двоек в разложении всех чисел от 1 до n на простые множители.
а) Пусть n = 45. Есть ровно 9 чисел кратных 5 от 1 до 45, при этом одно (25) содержит сразу две пятерки. Ясно, что 10 двоек наберется (там есть 22 четных числа, дающих минимум по одной двойке).
б) Среди чисел 1, 2, ..., 74 есть 14 кратных 5, из них 25, 50 кратны 52. Значит, 74! оканчивается на (14 − 2) + 2 · 2 = 16 нулей. При этом 75! = 74! · 75 окачивается на 18 нулей. Ясно, что при n < 74 число нулей будет не более 16, а при n > 75 — не менее 18.
в) Среди чисел от 1 до n ровно $$\left[\frac{n}{5}\right]$$ кратны 5 и ровно $$\left[\frac{n}{25}\right]$$ кратны 25, поэтому степень пятерки в n! равна $$\left[\frac{n}{5}\right]-\left[\frac{n}{25}\right]+2\cdot\left[\frac{n}{25}\right]=\left[\frac{n}{5}\right]+\left[\frac{n}{25}\right]$$ (здесь используется, что n ≤ 75, то есть числа, кратные 53, 54, ..., отсутствуют). Тогда в записи n! · (75 − n)! ровно
$$\left[\frac{n}{5}\right]+\left[\frac{75-n}{5}\right]+\left[\frac{n}{25}\right]+\left[\frac{75-n}{25}\right]=\left[\frac{n}{5}\right]+\left[15-\frac{n}{5}\right]+\left[\frac{n}{25}\right]+\left[3-\frac{n}{25}\right]$$
нулей. Заметим, что при целом k [α] + [k − α] = k при целом α и [α] + [k − α] = k − 1 при нецелом α, поэтому $$\left[\frac{n}{5}\right]+\left[15-\frac{n}{5}\right]=15$$ или $$14$$ и $$\left[\frac{n}{25}\right]+\left[3-\frac{n}{25}\right]=3$$ или $$2.$$ Нас интересует вариант 15 + 2 (вариант 14 + 3 означал бы, что n не кратно 5, но кратно 25, что невозможно). Значит, n кратно 5, но не 25. Таких чисел 12.
Отметим, что одно из чисел n или 100 − n не меньше 38, поэтому его факториал содержит не менее 19 четных множителей, так что двоек на все эти пятерки хватит.